Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Nowa Era 2021 – Odpowiedzi

B

Naszym celem jest zsumowanie objętości każdego z płynów. Pamiętając o tym, że ułamek \(0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{6}+0,2+\frac{3}{5} \\
V=\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \\
V=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{18}{30} \\
V=\frac{29}{30}$$

Wyszło nam, że objętość soku wynosi \(\frac{29}{30}\) litra, co w przybliżeniu dałoby wynik \(0,97\) litra. To oznacza, że objętość przygotowanego napoju jest większa niż \(0,75\) litra, ale mniejsza niż \(1\) litr.

A, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy ustalić, który ułamek jest większy: \(\frac{1}{6}\) czy \(0,2\). Aby tego dokonać, zamieńmy od razu ułamek dziesiętny na zwykły, czyli \(0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\). Mamy więc porównać ułamek \(\frac{1}{6}\) z \(\frac{1}{5}\). Są to ułamki o jednakowych licznikach, a więc im mniejszy mianownik, tym wartość takiego ułamka jest większa. Mówiąc wprost \(\frac{1}{6}\lt\frac{1}{5}\). To oznacza, że zużyto mniej soku ananasowego niż soku z czarnej porzeczki.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Sumując zawartość soku ananasowego i porzeczkowego, otrzymamy:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=\frac{11}{30}$$

Objętość całego napoju to:
$$V=\frac{1}{6}+0,2+\frac{3}{5} \\
V=\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \\
V=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{18}{30} \\
V=\frac{29}{30}$$

Mamy więc \(\frac{11}{30}\) litra soków w \(\frac{29}{30}\) litra napoju. To oznacza, że nasze dwa soki stanowią:
$$\frac{\frac{11}{30}}{\frac{29}{30}}=\frac{11}{30}:\frac{29}{30}=\frac{11}{30}\cdot\frac{30}{29}=\frac{11}{29}$$

A

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{3^7\cdot2^7+2^2\cdot2^5\cdot3^7}{6^8}= \\
=\frac{(3\cdot2)^7+2^{2+5}\cdot3^7}{6^8}= \\
=\frac{6^7+2^7\cdot3^7}{6^8}= \\
=\frac{6^7+(2\cdot3)^7}{6^8}= \\
=\frac{6^7+6^7}{6^8}= \\
=\frac{2\cdot6^7}{6\cdot6^7}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

D

Prześledźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. - nie musimy obliczać wartości tych liczb. Powinniśmy dostrzec, że pierwsza i trzecia liczba są ujemne, a druga jest dodatnia, więc na pewno nie ma tu kolejności od najmniejszej do największej.
Odp. B. - tutaj liczby są ułożone od największej do najmniejszej, ponieważ przykładowo \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\), natomiast \(\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}\)
Odp. C. - tutaj także mamy liczby ułożone od największej do najmniejszej, ponieważ przy jednakowych licznikach (a takie mamy w tym zestawie) im większy jest mianownik, tym mniejsza jest wartość danego ułamka.
Odp. D. - tutaj faktycznie mamy zapisane liczby od najmniejszej do największej (każda kolejna liczba jest coraz bliżej zera na osi liczbowej).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy najpierw zużycie energii elektrycznej żarówki. Z tabelki możemy odczytać, że w ciągu \(50\) godzin żarówka zużywa \(1kWh\). Skoro tak, to w ciągu \(6\) godzin zużyje ona \(\frac{6}{50}kWh=0,12kWh\).

Teraz obliczmy zużycie energii telewizora. Z tabelki wynika, że telewizor zużywa \(1kWh\) w ciągu \(20\) godzin pracy, więc w ciągu \(4\) godzin zużyje on \(\frac{4}{20}kWh=0,2kWh\).

To oznacza, że żarówka zużyła mniej energii elektrycznej. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z tabelki wynika, że odkurzacz zużywa \(1kWh\) w ciągu \(1\) godziny pracy. Skoro więc odkurzacz pracował \(1,5\) godziny, to znaczy, że zużył \(1,5kWh\).

Kuchenka zużywa \(1kWh\) w ciągu \(30\) minut pracy, więc w ciągu \(15\) minut zużyła ona \(0,5kWh\).

Łącznie odkurzacz i kuchenka zużyły \(1,5kWh+0,5kWh=2kWh\), czyli zdanie jest prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie zużycia energii elektrycznej przez pięć żarówek.
Z tabelki wynika, że pojedyncza żarówka zużywa \(1kWh\) w ciągu \(50\) godzin, więc w ciągu \(20\) godzin to zużycie wyniesie \(\frac{20}{50}kWh=0,4kWh\). To oznacza, że \(5\) żarówek zużyje nam:
$$5\cdot0,4kWh=2kWh$$

Krok 2. Obliczenie kosztu zużycia energii elektrycznej.
Skoro cena \(1 kWh\) energii elektrycznej jest równa \(0,64 zł\), a my zużyliśmy \(2kWh\), to koszt zużycia energii wyniesie:
$$2\cdot0,64zł=1,28zł$$

C

Patrzymy się na oś pionową (tam gdzie jest zapisana objętość) i szukamy wartości \(1500\). Widzimy, że ta wartość została osiągnięta dokładnie w momencie, gdy na osi poziomej mamy \(2,5h\). To oznacza, że w zbiorniku zostało \(1500\) litrów wody po upływie \(2,5\) godziny.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Przerwa w wypompowywaniu miała miejsce od trzeciej do piątej godziny (bo wtedy objętość wody się nie zmienia). To oznacza, że ta przerwa trwała \(5h-3h=2h\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W ciągu trzech pierwszych godzin objętość wody spadła z \(2000l\) do poziomu \(1400l\), czyli wypompowano:
$$2000l-1400l=600l$$

Trzy ostatnie godziny to okres między piątą i ósmą godziną. Widzimy, że w tym czasie wypompowano wodę z poziomu \(1400l\) do \(200l\), czyli wypompowano:
$$1400l-200l=1200l$$

Widzimy wiec, że faktycznie w ciągu trzech ostatnich godzin wypompowano wodę dwa razy szybciej niż w ciągu trzech pierwszych godzin (bo w tym samym czasie udało się wypompować dwa razy więcej wody), zatem zdanie jest prawdą.

D

Krok 1. Odczytanie wartości liczb \(a, b, c\).
Do zadania można podejść na różne sposoby. Na pewno jedna kratka to jedna jednostka (niekoniecznie musi to być wartość równa \(1\), równie dobrze jedna kratka to może być \(10\)). Aby więc zachować poprawność matematyczną przyjmijmy, że jedna kratka to \(x\), zatem patrząc na odległości punktów od zera możemy zapisać, że:
$$a=-3x \\
b=5x \\
c=2x$$

Oczywiście nic się nie stanie jak zapiszemy, że \(a=-3\), \(b=5\) oraz \(c=2\) (dojdziemy do tego samego wyniku).

Krok 2. Sprawdzenie poprawności równości z odpowiedzi.
Musimy teraz sprawdzić, która z podanych równości jest poprawna. Przeanalizujmy po kolei każdą z odpowiedzi, podstawiając wyznaczone przed chwilą wartości, i sprawdźmy, kiedy lewa strona będzie równa stronie prawej:
Odp. A.
$$a-c=b \\
-3x-2x=5x \\
-5x=5x \\
L\neq P$$

Odp. B.
$$a+c=b \\
-3x+2x=5x \\
-x=5x \\
L\neq P$$

Odp. C.
$$b-c=a \\
5x-2x=-3x \\
3x=-3x \\
L\neq P$$

Odp. D.
$$c-a=b \\
2x-(-3x)=5x \\
2x+3x=5x \\
5x=5x \\
L=P$$

Widzimy, że prawdziwa była jedynie ostatnia równość.

C

Zadanie jest dość podchwytliwe. Początkowo mogłoby się wydawać, że skoro jeden element ma długość \(1,5cm\) (widzimy, że zajmuje on długość trzech kratek), to \(12\) elementów da długość \(12\cdot1,5cm=18cm\). To jest błędne myślenie (zresztą nawet nie mamy takiej odpowiedzi wśród proponowanych). Wynika to z faktu, że elementy łańcuszka zachodzą na siebie.

Do zadania trzeba więc podejść nieco inaczej. Widzimy, że pierwszy element daje nam \(1,5cm\) długości łańcuszka, a każdy kolejny wydłuża nam łańcuszek o \(1cm\). Skoro tak, to długość łańcuszka składającego się z \(12\) elementów będzie równa:
$$1,5cm+11\cdot1cm=1,5cm+11cm=12,5cm$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Widzimy, że jeden element łańcuszka ma długość \(1,5cm\). Nie oznacza to jednak, że dodanie kolejnego elementu do łańcuszka spowoduje wzrost długości o \(1,5cm\). Elementy łańcuszka nakładają się na siebie i efekt tego jest taki, że o ile pierwszy element daje nam \(1,5cm\) długości łańcuszka, tak każdy kolejny wydłuża nam łańcuszek o \(1cm\).

Łańcuszek składający się z \(22\) elementów miałby jeden element początkowy oraz \(21\) elementów dodanych, czyli jego długość wyniosłaby:
$$1,5cm+21\cdot1cm=1,5cm+21cm=22,5cm$$

To oznacza, że zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Łańcuszek o długości \(n\) elementów składa się z jednego elementu o długości \(1,5cm\) i \(n-1\) elementów wydłużających go o \(1cm\). Długość takiego łańcuszka moglibyśmy więc rozpisać jako:
$$1,5+(n-1)\cdot1=1,5+n-1=n+0,5$$

Zdanie jest więc prawdą.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli rozpuścimy \(2g\) soli w \(100g\) wody, to otrzymamy \(102g\) roztworu, w którym sól stanowi \(\frac{2}{102}\approx1,96\%\) całości. To nie jest więc sytuacja, która nas interesuje.
Jeżeli rozpuścimy \(2g\) soli w \(98g\) wody, to otrzymamy \(100g\) roztworu, w którym sól stanowi \(\frac{2}{100}=2\%\) całości. To jest właśnie oczekiwany przez nas wynik, stąd też będzie to prawidłowa odpowiedź.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mamy \(100 g\) roztworu \(4\)-procentowego, czyli mamy \(4g\) soli. Mając te \(4g\) soli, chcemy otrzymać roztwór \(2\)-procentowy. Aby tak się stało, to całego roztworu musimy mieć w takim razie \(200g\), bo \(\frac{4g}{200g}=\frac{2}{100}=2\%\). Skoro mamy \(100g\) roztworu i dolewamy wodę, to aby otrzymać \(200g\) roztworu, musimy dodać \(100g\) wody.

A

W trójkącie równoramiennym mamy dwa kąty o jednakowej mierze (znajdują się one przy podstawie). Mamy więc teoretycznie dwie możliwości:
I możliwość - kąt \(36°\) jest między ramionami - w takiej sytuacji na kąty przy podstawie zostanie nam \(180°-36°=144°\), czyli każdy z kątów przy podstawie będzie miał \(144°:2=72°\).
II możliwość - kąt \(36°\) jest przy podstawie - w takiej sytuacji drugi kąt przy podstawie ma także \(36°\), zatem kąt między ramionami ma miarę \(180°-36°-36°=108°\).

Pasuje nam więc odpowiedź pierwsza (to jest sytuacja przedstawiona w drugiej możliwości).

C

Liczba wierzchołków i krawędzi ostrosłupa jest uzależniona od tego jaką figurę mamy w podstawie. Generalna zasada mówi, że ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków i \(2n\) krawędzi. Trudność tego zadania polega na tym, że trochę dublują się nam oznaczenia (mamy podane, że ostrosłup ma \(n\) wierzchołków), dlatego ważne jest teraz, by się nie pogubić w definicjach.

Z tego też względu podejdźmy do tematu z innej strony. Wiemy, że liczba wierzchołków jest o \(1\) większa od liczby kątów (lub boków) figury znajdującej się w podstawie. Skoro tak, to figura znajdująca się w podstawie ma \(n-1\) kątów. Liczba krawędzi ma być zawsze dwa razy większa od tej liczby kątów, stąd też liczbę krawędzi możemy zapisać jako \(2(n-1)\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli każdy prostopadłościan składa się z takiej samej liczby klocków, to na pewno wszystkie prostopadłościany mają jednakowe objętości. A czy pola powierzchni całkowitej będą jednakowe? Nie, zdecydowanie nie. Wyobraźmy sobie, że każdy sześcian ma bok o długości \(x\) i układamy takie oto dwie bryły:


Krok 2. Pokazanie, że pola powierzchni brył są różne.
W pierwszej sytuacji mamy prostopadłościan składający się z \(8\) klocków ułożonych jeden bok drugiego. Taki prostopadłościan ma dwie ściany o polu \(x\cdot x=x^2\) i cztery ściany o polu \(8x\cdot x=8x^2\). Pole powierzchni całkowitej tej bryły wyniesie wtedy:
$$P_{c1}=2\cdot x^2+4\cdot8x^2 \\
P_{c1}=2x^2+32x^2 \\
P_{c1}=34x^2$$

Z tych samych ośmiu klocków możemy też ułożyć duży sześcian o krawędzi \(2x\). Taki sześcian ma sześć ścian, każda o polu \(2x\cdot2x=4x^2\). Pole powierzchni całkowitej wyniesie więc:
$$P_{c2}=6\cdot4x^2 \\
P_{c2}=24x^2$$

Widzimy wyraźnie, że pola powierzchni całkowitej są różne. W zasadzie nie musimy już określić, że akurat najmniejsze pole powierzchni będzie mieć sześcian, bo i bez tej wiedzy widzimy, że pasuje nam jedynie odpowiedź B.

a) są trzy możliwości (patrz rysunek)
b) \(16cm\)

a) Uzupełniona siatka może wyglądać następująco:


b) Ostrosłup mający w podstawie czworokąt (czyli liczba boków wynosi \(n=4\)) będzie mieć osiem krawędzi (bo liczba krawędzi ostrosłupa jest równa \(2n\), czyli \(2\cdot4=8\)). Skoro każda krawędź ma długość \(2cm\), to łączna suma krawędzi wyniesie:
$$8\cdot2cm=16cm$$

\(1100zł\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Najważniejszą rzeczą w tym zadaniu jest poprawne zrozumienie jak działa podatek VAT. Schemat jest dość prosty: cena netto + podatek VAT (od ceny netto) = cena brutto. Cena pralki jest więc ceną brutto.

Bazując na tej wiedzy, wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT (bo jest to \(23\%\) z ceny \(x\))
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Obliczenie ceny promocyjnej pralki.
Cena promocyjna to w tym przypadku cena netto. Wiemy, że cena brutto wynosi \(1353 zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$1,23x=1353zł \\
x=1100$$

\(P=8\sqrt{2}cm^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do obliczenia pola potrzebujemy poznać długość wysokości trójkąta. Jest to trójkąt rozwartokątny, więc wysokość opuszczona na podstawę \(AB\) znajdzie się poza trójkątem. Rysując tę wysokość warto zauważyć, że powstanie nam przy okazji trójkąt o kątach \(45°,45°,90°\) i to właśnie z własności tego trójkąta obliczymy brakującą wysokość \(h\).


Kąt \(DBC\) ma miarę \(45°\), ponieważ suma kątów przyległych jest równa \(180°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości \(h\).
Spójrzmy na trójkąt \(BDC\). W trójkątach o kątach \(45°, 45°, 90°\) (czyli w połówce kwadratu) przyprostokątne mają długość \(a\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(4\sqrt{2}cm\), to:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}cm \\
a=4cm$$

To oznacza, że przyprostokątne trójkąta \(BDC\) mają długość \(4cm\), a więc tym samym \(h=4cm\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Znając długość podstawy \(|AB|=4\sqrt{2}\) oraz mając już wysokość \(h=4cm\), możemy bez problemu przejść do obliczenia pola powierzchni trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}cm\cdot4cm \\
P=8\sqrt{2}cm^2$$

Łączny koszt wynajmu to \(1860zł\). Każda z dziewczyn zapłaci \(620zł\) (gdy wynajem będzie w trzy osoby) lub \(465zł\) (gdy wynajem będzie w cztery osoby).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - opłata za wynajem przypadająca na każdą z trzech studentek (gdyby mieszkały we trzy)
\(3x\) - łączna opłata za wynajem

Po dołączeniu czwartej studentki czynsz mógłby spaść o \(155zł\), czyli:
\(x-155\) - opłata za wynajem przypadająca na każdą z czterech studentek (gdyby mieszkały we cztery)
\(4\cdot(x-155)\) - łączna opłata za wynajem

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Łączna opłata za wynajem jest stała, niezależnie od tego, czy będą wynajmować trzy czy cztery studentki. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$3x=4\cdot(x-155) \\
3x=4x-620 \\
-x=-620 \\
x=620$$

Krok 3. Ustalenie opłat dla każdej ze studentek.
Z obliczeń wyszło, że gdyby dziewczyny wynajmowały mieszkanie we trzy, to każda zapłaciłaby po \(620zł\). Gdyby wynajmowały we cztery, to wtedy każda zapłaciłaby \(620zł-155zł=465zł\).

Krok 4. Obliczenie całkowitego kosztu wynajmu mieszkania.
Zgodnie z treścią zadania, musimy obliczyć jeszcze całkowity koszt wynajmu. Koszt ten będzie niezależny od tego, czy mieszkanie wynajmą trzy studentki, czy cztery i wyniesie on:
$$4\cdot465zł=1860zł$$