Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}\cdot q^3=a_{6} \\
3\cdot q^3=-24 \\
q^3=-8 \\
q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
3=a_{1}\cdot(-2)^2 \\
3=a_{1}\cdot4 \\
a_{1}=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów.
Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3} \\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3} \\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5) \\
S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$
