Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2024 – Odpowiedzi

C

\(1,2\%\) możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego jako \(0,012\). Z treści zadania wynika, że ceny uncji złota prezentowały się w następujący sposób:
Początek: \(8500\)
Zakończenie I sesji: \(8500\cdot0,012\)
Zakończenie II sesji: \(8500\cdot0,012\cdot0,012\)
Zakończenie III sesji: \(8500\cdot0,012\cdot0,012\cdot0,012\)

Czyli cena uncji po trzeciej sesji była równa \(8500\cdot(1,012)^3 zł\).

A

Do przykładu można podejść na różne sposoby, ale chyba najprościej będzie sobie najpierw rozpisać liczbę, która znajduje się pod tym dużym pierwiastkiem. Uprośćmy zatem zapis \(4:\sqrt{8}\), korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach:
$$4:\sqrt{8}=2^2:\sqrt{2^3}=2^2:2^{\frac{3}{2}}=2^{2-\frac{3}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Naszą liczbę możemy teraz rozpisać jako:
$$\sqrt{4:\sqrt{8}}=\sqrt{2^{\frac{1}{2}}}=\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$$

D

Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - obecny wiek Ani
\(y\) - obecny wiek Janka

Wiemy, że Ania jest o \(8\) lat młodsza od Janka, czyli pierwszym równaniem jakie moglibyśmy zapisać będzie:
$$x=y-8$$

Dodatkowo wiemy, że za \(6\) lat (czyli wtedy, gdy Ania będzie miała \(x+6\) lat, a Janek będzie miał \(y+6\) lat) Ania będzie od Janka dwa razy młodsza, co pozwoli nam ułożyć następujące równanie:
$$x+6=\frac{1}{2}(y+6)$$

Teraz musimy się dopasować do którejś odpowiedzi, przekształcając zapisane wcześniej równania. W pierwszym równaniu możemy otrzymać postać:
$$x+8=y \\
y-x=8$$

W drugim równaniu trzeba byłoby pomnożyć obydwie strony przez \(2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$2x+12=y+6 \\
2x-y=-6$$

To oznacza, że pasującym układem równań będzie ten z czwartej odpowiedzi.

B

Do zadania można podejść na wiele różnych sposobów (na upartego można wręcz wypisać wszystkie pasujące liczby). Spróbujmy jednak do tego podejść nieco bardziej analitycznie. Cyfry nieparzyste to \(1, 3, 5, 7\) oraz \(9\), zatem mamy \(5\) różnych takich cyfr.

Gdyby zadanie polegało na powiedzeniu ile jest takich liczb większych od \(30\) to sprawa byłaby prosta, bowiem:
- w rzędzie dziesiątek mogłaby się znaleźć jedna z czterech cyfr: \(3, 5, 7, 9\), zatem mielibyśmy \(4\) różne możliwości
- w rzędzie jednostek mogłaby się znaleźć jedna z pięciu cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), zatem mielibyśmy \(5\) różnych możliwości

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb byłoby więc \(4\cdot5=20\).

No ale my chcemy, by te liczby były większe od \(34\), a policzyliśmy ile jest takich liczb większych od \(30\). W takim razie z tych wszystkich obliczonych możliwości trzeba byłoby odrzucić dwie liczby: \(31\) oraz \(33\), bo składają się one z cyfr nieparzystych, a jednak nie są większe od \(34\).. W takim razie poszukiwanych liczb mamy łącznie \(20-2=18\).

D

Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru \(V=P_{p}\cdot H\). Wiemy, że objętość graniastosłupa jest równa \(12\), a wysokość to \(4\), więc tym samym:
$$12=P_{p}\cdot4 \\
P_{p}=3$$

Pole podstawy to nic innego jak pole prostokąta o długościach \(x\) i \(y\), czyli tym samym:
$$x\cdot y=3 \\
y=\frac{3}{x}$$

Otrzymane równanie musimy potraktować jako funkcję i tym samym musimy zastanowić się, na którym wykresie znalazła się opisana relacja. Jest to bardzo charakterystyczna funkcja wymierna (związana z wartościami odwrotnie proporcjonalnymi), a jej wykres znalazł się w ostatniej odpowiedzi.

C

Nasz wielomian możemy rozpisać korzystając z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$W(x)=2x^3-6x^2-4x+12 \\
W(x)=2x^2(x-3)-4(x-3) \\
W(x)=(2x^2-4)(x-3) \\
W(x)=2(x^2-2)(x-3)$$

A

Krok 1. Zapisanie założeń.
Rozwiązywanie tego typu zadań musimy zacząć od zapisania założeń. W związku z tym, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość mianownika musi być różna od \(0\). Zapisalibyśmy więc, że:
$$1-x\neq0 \quad\land\quad 4-x^2\neq0 \\
x\neq 1 \quad\land\quad 4\neq x^2 \\
x\neq 1 \quad\land\quad x\neq2 \quad\land\quad x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Standardowo tego typu równania rozwiązujemy w ten sposób, że zaczynamy od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co jest w mianowniku. Ze względu na zero stojące po prawej stronie, cały zapis bardzo mocno się uprości:
$$\frac{(2x-4)(2x+8)^2}{(1-x)(4-x^2)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(4-x^2) \\
(2x-4)(2x+8)^2=0$$

Aby rozwiązać to równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x+8=0 \\
2x=4 \quad\lor\quad 2x=-8 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Nasze wyniki musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, bo dla \(x=2\) mianownik jest równy \(0\). Stąd też całe to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=-4\).

D

Zadanie będzie znacznie prostsze, gdy rozwiązywanie rozpoczniemy od usunięcia niewymierności z mianownika w liczbie \(x\). Mnożąc licznik oraz mianownik przez \(\sqrt{2}\), otrzymamy:
$$\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Teraz możemy podstawić naszą liczbę \(x\) do wyrażenia z treści zadania, otrzymując:
$$\frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1$$

C

Obliczmy osobno wartości \(f\left(\frac{1}{10}\right)\) oraz \(f(10)\). Tu warto zwrócić uwagę, że wzór tej funkcji różni się w zależności od tego, czy \(x\) jest większy czy mniejszy od \(1\), co będzie miało oczywiście wpływ na nasze obliczenia.

Chcąc obliczyć \(f\left(\frac{1}{10}\right)\) musimy podstawić \(x=\frac{1}{10}\) do drugiego wzoru, bo to ten drugi wzór jest dla \(x\lt1\). W takim razie:
$$f\left(\frac{1}{10}\right)=\left(\frac{1}{10}\right)^2-1=\frac{1}{100}-1=0,01-1=-0,99$$

Teraz przechodzimy do \(f(10)\). Tym razem musimy skorzystać z pierwszego wzoru, bo to właśnie ten wzór obowiązuje dla argumentów \(x\ge1\), zatem:
$$f(10)=-2\cdot log10=-2\cdot1=-2$$

Tym samym wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$f\left(\frac{1}{10}\right)-f(10)=-0,99-(-2)=1,01$$

Udowodniono, rozpisując liczbę i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Podaną liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^n-3^n=(3^2)^n-3^n=3^{2n}-3^n$$

Teraz wyłączając wspólny czynnik \(3^n\) przed nawias, otrzymamy:
$$3^n\cdot(3^n-1)$$

Liczba \(3^n\) jest na pewno podzielna przez \(3\). Możemy też stwierdzić, że \(3^n\) jest na pewno liczbą nieparzystą (jakakolwiek liczba nieparzysta podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej da wynik nieparzysty). Tym samym \(3^n-1\) będzie liczbą parzystą, czyli podzielną przez \(2\). To oznacza, że mamy mnożenie liczby podzielnej przez \(3\) przez liczbę podzielną przez \(2\), co sprawia, że cała liczba jest na pewno podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.

B

Jeżeli zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział \((-3,1)\) to znaczy, że miejscami zerowymi będą \(x=-3\) oraz \(x=1\). Te miejsca zerowe muszą nam też wyjść z przyrównania wyrażenia \((x-1)(mx-6)\) do zera (bo tak przecież wyznaczamy miejsca zerowe). To oznacza, że równanie \((x-1)(mx-6)=0\) ma dwa rozwiązania \(x=-3\) oraz \(x=1\). Widzimy, że rozwiązanie \(x=1\) wynika z przyrównania pierwszego nawiasu do zera, zatem spodziewamy się, że \(x=-3\) wyjdzie z przyrównania drugiego nawiasu. Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$m\cdot(-3)-6=0 \\
-3m-6=0 \\
-3m=6 \\
m=-2$$

B. 3.,

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) moglibyśmy rozpisać, że:
$$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\frac{1^2}{a^2}=a^2+2+\frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$$

Z treści zadania wiemy, że \(a^2+\frac{1}{a^2}=4\), więc wychodzi nam, że \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) jest równe \(4+2\), czyli \(6\). Tym samym \(a+\frac{1}{a}\) będzie równe \(\sqrt{6}\).

Możemy więc powiedzieć, że nasze wyrażenie przyjmuje wartość \(\sqrt{6}\), ponieważ spełnia on warunek z trzeciej odpowiedzi.

A

Zadanie polega tak naprawdę na tym, by poprawnie zapisać równania jednej i drugiej prostej, które znalazły się na rysunku. Okazuje się, że znając własności funkcji liniowych, możemy dojść do prawidłowych odpowiedzi niemalże bez obliczeń.

Funkcję liniową zapisujemy w postaci \(y=ax+b\), gdzie współczynnik \(b\) związany jest z miejscem przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Z rysunku wynika, że jedna prosta przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), a druga dla \(y=-3\), więc jedna prosta musi mieć współczynnik \(b=2\), a druga \(b=-3\). W ten sposób jesteśmy w stanie odrzucić ostatnią odpowiedź.

Dodatkowo musimy zauważyć, że prosta której współczynnik \(b=2\) jest prostą rosnącą, czyli ta prosta musi mieć dodatni współczynnik \(a\). Z kolei prosta której współczynnik \(b=-3\) jest prostą malejącą, czyli musi mieć ujemny współczynnik \(a\). Taka sytuacja jest jedynie w przypadku pierwszego układu równań, więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem. Podany wzór ciągu jest charakterystyczny dla ciągów arytmetycznych (a nie geometrycznych), a w tym konkretnym przypadku byłby to ciąg arytmetyczny w którym \(r=-4\) (bo taka liczba znajduje się przed \(n\)). Gdybyśmy tego nie dostrzegali, to zawsze możemy obliczyć wartość \(a_{n+1}-a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=-4\cdot(n+1)+19-(-4n+19)= \\
=-4n-4+19+4n-19=-4$$

Otrzymany wynik oznacza, że każdy kolejny wyraz ciągu różni się właśnie o wartość \(-4\), czyli że jest to ciąg arytmetyczny w którym \(r=-4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na początek sprawdźmy ile ten ciąg ma wyrazów dodatnich. W tym celu musimy sprawdzić kiedy \(-4n+19\) jest większe od \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następująca nierówność:
$$-4n+19\gt0 \\
-4n\gt-19 \\
n\lt\frac{19}{4} \\
n\lt4,75$$

Zwróć uwagę, że w trakcie obliczeń (kiedy dzieliliśmy obydwie strony nierówności przez -4) zmienił się znak nierówności na przeciwny - dzieje się tak zawsze, gdy obydwie strony nierówności dzielimy lub mnożymy przez liczbę ujemną.

W związku z tym, że \(n\) w ciągach jest liczbą naturalną, to z naszego rozwiazania wynika, że dodatnimi wyrazami będą jedynie \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{4}\) i to właśnie ten czwarty wyraz powinien być najbliższy zera, czyli powinien być jednocześnie najmniejszą liczbą dodatnią. Ale dla pewności możemy wyznaczyć wartości kilku początkowych wyrazów, wszak nie jest ich dużo:
$$a_{1}=-4\cdot1+19=15 \\
a_{2}=-4\cdot2+19=11 \\
a_{3}=-4\cdot3+19=7 \\
a_{4}=-4\cdot4+19=3 \\
a_{5}=-4\cdot5+19=-1$$

Najmniejszy dodatni wyraz tego ciągu jest zatem równy \(3\), czyli zdanie jest fałszem.

B oraz F

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro \(a_{2}=-3\) oraz \(a_{1}=1\), to iloraz ciągu geometrycznego wyniesie:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-3}{1} \\
q=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego oraz czwartego wyrazu.
Znając iloraz ciągu, możemy obliczyć wartość trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=-3\cdot(-3) \\
a_{3}=9$$

$$a_{4}=a_{3}\cdot q \\
a_{4}=9\cdot(-3) \\
a_{4}=-27$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(x=9\) oraz \(y=-27\).

Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Musimy teraz przejrzeć proponowane odpowiedzi i wybrać dwa poprawne warianty. Przeanizujmy każdą odpowiedź:
Odp. A. - widzimy, że to jest nieprawda, ponieważ \(x=9\).
Odp. B. - iloczyn jest równy \(9\cdot(-27)=-243\), czyli ta odpowiedź się zgadza.
Odp. C. - różnica wynosi \(-27-9=-36\), czyli to zdanie jest nieprawdziwe.
Odp. D. - ten ciąg nie jest malejący, bo jest niemonotoniczny (wartości wyrazów tego ciągu raz rosną, raz maleją).
Odp. E. - tak jak wyżej, ten ciąg nie jest rosnący.
Odp. F. - zgadza się, to nie jest ciąg monotoniczny, tylko niemonotoniczny.

Prawidłowymi odpowiedziami będą zatem B oraz F.

B

W tym zadaniu skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(cos^2\alpha\) do wyrażenia z treści zadania, otrzymamy taką oto sytuację:
$$sin^2\alpha-(1-sin^2\alpha)=\frac{1}{2} \\
sin^2\alpha-1+sin^2\alpha=\frac{1}{2} \\
2sin^2\alpha=\frac{3}{2} \\
sin^2\alpha=\frac{3}{4} \\
sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{4}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy. Zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{4}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

B

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Odległość od środka okręgu do punktu przez który ten okrąg przechodzi jest niczym innym jak właśnie promieniem okręgu. Obliczmy zatem długość tego promienia, korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|OS|=\sqrt{(x_{S}-x_{O})^2+(y_{S}-y_{O})^2}$$

Podstawiając współrzędne z treści zadania, otrzymamy:
$$|OS|=\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2} \\
|OS|=\sqrt{3^2+(-1)^2} \\
|OS|=\sqrt{9+1} \\
|OS|=\sqrt{10}$$

To oznacza, że \(r=\sqrt{10}\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to oczywiście promień. Moglibyśmy więc zapisać, że nasz okrąg da się opisać równaniem:
$$(x-3)^2+(y-(-1))^2=(\sqrt{10})^2 \\
(x-3)^2+(y+1)^2=10$$

\(d=\sqrt{37}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W równoległoboku kąty przy danym boku mają łącznie \(180°\), więc skoro kąt ostry ma \(60°\), to kąt rozwarty będzie miał \(120°\). Powstaje nam więc taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie wartości \(cos120°\).
Całe zadanie opiera się na poprawnym wykorzystaniu twierdzenia cosinusów, ale zanim to zrobimy, musimy ustalić jaka jest wartość \(cos120°\). Z pomocą przyjdzie nam np. ten oto wzór redukcyjny:
$$cos(90°+α)=-sinα$$

Rozpisując nasz kąt otrzymamy, że:
$$cos120°=cos(90°+30°)=-sin30°$$

Wyszło nam, że \(cos120°\) ma wartość dokładnie taką samą jak \(-sin30°\). Wartość \(sin30°\) możemy odczytać z tablic i jest to \(\frac{1}{2}\), zatem dodając do tego znak ujemny, możemy stwierdzić, że \(cos120°=-\frac{1}{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej równoległoboku.
Teraz korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$d^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot cos120° \\
d^2=9+16-24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
d^2=25-(-12) \\
d^2=37 \\
d=\sqrt{37} \quad\lor\quad d=-\sqrt{37}$$

Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ długość przekątnej jest dodatnia, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{37}\).

B

Krok 1. Dostrzeżenie kluczowych własności kątów.
Aby móc rozwiązać to zadanie, musimy dostrzec, że kąty \(ABD\) oraz \(ACD\) są kątami wpisanymi, które są oparte na tym samym łuku. To prowadzi nas do wniosku, że te kąty muszą mieć jednakową miarę, czyli tym samym \(|\sphericalangle ACD|=50°\).

Spójrzmy teraz na mały trójkąt o podstawie \(AB\) (na dole rysunku), w którym zaznaczone są już dwie miary kątów. To prowadzi nas do wniosku, że trzeci kąt w tym trójkącie będzie miał miarę \(180°-20°-50°=110°\).

Teraz korzystając z własności katów wierzchołkowych oraz przyległych, możemy nasz rysunek rozpisać w następujący sposób:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Spójrzmy teraz na czworokąt przypominający deltoid, w którym nasz kąt \(\alpha\) jest jedyną niewiadomą. Suma miar kątów w czworokątach jest równa zawsze \(360°\), zatem:
$$\alpha=360°-130°-130°-70°=30°$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie tego oto trójkąta prostokątnego:


Z tego trójkąta będziemy w stanie obliczyć wysokość trapezu, a stąd będzie prosta droga do obliczenia długości \(x\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta/trapezu.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$h^2+15^2=17^2 \\
h^2+225=289 \\
h^2=64 \\
h=8 \quad\lor\quad h=-8$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(h=8\).

Krok 3. Obliczenie długości \(x\).
Obliczenie \(h=8\) nie kończy jeszcze zadania. Celem zadania jest obliczenie długości \(x\). Z rysunku widzimy, że \(h=2x\), czyli tym samym:
$$2x=8 \\
x=4$$

a) \(S(x)=2x^2-16x+124\)
b) \(x=4\) oraz \(y=92\)

Krok 1. Obliczenie poszczególnych składników sumy.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Widzimy, że będzie interesować nas suma kwadratów, więc możemy od razu podnieść obydwie strony do kwadratu, dzięki czemu otrzymamy taki to wyjściowy wzór:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$

Podstawmy teraz odpowiednie współrzędne podane w treści zadania i obliczmy w ten sposób wartości \(|AB|^2\), \(|BC|^2\) oraz \(|AC|^2\). Obliczenia będą wyglądały następująco:

\(|AB|^2=(7-1)^2+(5-2)^2 \\
|AB|^2=6^2+3^2 \\
|AB|^2=36+9 \\
|AB|^2=45\)

\(|BC|^2=(x-7)^2+(0-5)^2 \\
|BC|^2=x^2-14x+49+(-5)^2 \\
|BC|^2=x^2-14x+49+25 \\
|BC|^2=x^2-14x+74\)

\(|AC|^2=(x-1)^2+(0-2)^2 \\
|AC|^2=x^2-2x+1+(-2)^2 \\
|AC|^2=x^2-2x+1+4 \\
|AC|^2=x^2-2x+5\)

Krok 2. Zapisanie sumy \(S\) jako funkcję zmiennej \(x\).
\(S\) jest sumą kwadratów długości boków, zatem możemy zapisać, że:
$$S=45+x^2-14x+74+x^2-2x+5 \\
S=2x^2-16x+124$$

Idea zadania polega na tym, by to równanie potraktować teraz jako funkcję zmiennej \(x\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$S(x)=2x^2-16x+124$$

Przy okazji moglibyśmy zapisać, że skoro \(x\) nie może być równy \(3\), to dziedziną funkcji będzie \(D=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\).

Krok 3. Wyznacznie argumentu dla którego funkcja osiąga najmniejszą wartość.
Funkcja \(S(x)\) jest funkcją kwadratową, a wykresem tej funkcji będzie parabola z ramionami skierowanymi ku górze (bo współczynnik \(a\) jest dodatni). To oznacza, że swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku. Korzystając ze wzoru na współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli wyjdzie nam, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-16)}{2\cdot2} \\
p=\frac{16}{4} \\
p=4$$

To oznacza, że nasza funkcja osiąga najmniejszą wartość dla \(x=4\).

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości.
Najmniejszą wartość moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4}\) albo po prostu podstawiając \(x=4\) do wzoru naszej funkcji, bo to właśnie w wierzchołku ta najmniejsza wartość będzie przyjmowana. Ta druga metoda jest znacznie szybsza, dlatego zapisalibyśmy, że:
$$f(4)=2\cdot4^2-16\cdot4+124 \\
f(4)=2\cdot16-64+124 \\
f(4)=32-64+124 \\
f(4)=92$$

Najmniejsza wartość tej funkcji wyniesie więc \(y=92\).

\(P=90\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Punktem wyjścia będzie zauważenie, że trójkąty \(AEF\) oraz \(DCF\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy? Kąty \(AEF\) i \(CDF\) mają jednakową miarę, co wynika z własności kątów naprzemianległych. Podobnie z parą kątów \(EAF\) oraz \(DCF\), no a kąty \(AFE\) oraz \(DCF\) to kąty wierzchołkowe.

Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów.
$$k=\frac{60}{15} \\
k=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąt \(AEF\).
Wiemy, że skala podobieństwa wynosi \(k=4\), co oznacza, że wysokość trójkąta \(DCF\) musi też być \(4\) razy większa od wysokości trójkąta \(AEF\). Jeśli więc wysokość trójkąta \(AEF\) oznaczylibyśmy jako \(h\), to wysokość trójkąta \(DCF\) wyniesie \(4h\).


Z rysunku wynika, że suma tych dwóch wysokości musi być równa \(60\), zatem:
$$h+4h=60 \\
h=12$$

W takim razie poszukiwana wysokość trójkąta \(AEF\) to \(h=12\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(AEF\).
Mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola, ponieważ wiemy, że \(a=15\) oraz \(h=12\), zatem korzystając z podstawowego wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12 \\
P=90$$

B

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{3}\), natomiast druga prosta ma współczynnik \(a=2m\). Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy przed chwilą, moglibyśmy zapisać, że te dwie proste będą prostopadłe, gdy:
$$\frac{1}{3}\cdot2m=-1 \\
\frac{2}{3}m=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
m=-\frac{3}{2}$$

D

Powinniśmy dostrzec, że długość podstawy oraz wysokość naszego trójkąta (czyli przyprostokątne) będą równe tyle samo co współczynnik \(b\). Moglibyśmy więc zapisać, że \(a=b\) oraz \(h=b\). Chcemy się dowiedzieć kiedy pole naszego trójkąta będzie równe \(4\), czyli korzystając ze wzoru na pole trójkąta zapisalibyśmy, że:
$$\frac{1}{2}\cdot b\cdot b=4 \\
b^2=8 \\
b=\sqrt{8} \quad\lor\quad b=-\sqrt{8}$$

Otrzymany wynik jest już poprawny, ale nie ma takie odpowiedzi wśród proponowanych. Wszystko dlatego, że damy radę jeszcze tutaj wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, rozpisując nasz wynik jako \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).

C

Skoro nasz zestaw liczb jest już uporządkowany, to możemy bez problemu zapisać jaka jest mediana. Liczba wyrazów jest nieparzysta, czyli mediana będzie równa wartości środkowego wyrazu - w tym przypadku będzie to \(22\).

Z treści zadania wynika, że średnia arytmetyczna zestawu liczb jest dwa razy mniejsza od mediany, czyli średnia będzie równa \(11\). W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{x+21+22+23+24}{5}=11 \\
\frac{x+90}{5}=11 \\
x+90=55 \\
x=-35$$

\(p=\frac{1}{3}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy dwa pudełka - w pierwszym są \(4\) kule, a w drugim jest ich \(6\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka, więc zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=4\cdot6=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której suma wylosowanych liczb jest podzielna przez \(3\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,5), (1,8) \\
(2,7), (2,10) \\
(3,6), (3,9) \\
(4,5), (4,8)$$

Jest więc osiem takich par, zatem \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

C

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni poszczególnych figur.
Ustalmy jakie figury będą tworzyć nasze pole powierzchni całkowitej:
- mamy \(1\) podstawę która jest kwadratem o boku \(a\)
- mamy \(2\) trójkąty prostokątne \(ADH\) oraz \(DCH\) o podstawie \(a\) i wysokości \(a\)
- mamy \(2\) trójkąty \(ABH\) oraz \(BCH\), które choć nie widać tego na pierwszy rzut oka, to są tak naprawdę trójkątami prostokątnymi o podstawie \(a\) i wysokości \(a\sqrt{2}\) (przekątna kwadratu).

Policzmy zatem pola powierzchni każdej z figur.

Pole kwadratu znajdującego się w podstawie to:
$$P_{1}=a\cdot a \\
P_{1}=a^2$$

Pole trójkąta prostokątnego o podstawie \(a\) i wysokości \(a\) to:
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \\
P_{2}=\frac{1}{2}a^2$$

Pole trójkąta prostokątnego o podstawie \(a\) i wysokości \(a\sqrt{2}\) to:
$$P_{3}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{2} \\
P_{3}=\frac{1}{2}a^2\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
W takim razie skoro mamy jedną podstawę oraz po dwa trójkąty każdego rodzaju, to pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=P_{1}+2\cdot P_{2}+2\cdot P_{3} \\
P_{c}=a^2+2\cdot\frac{1}{2}a^2+2\cdot\frac{1}{2}a^2\sqrt{2} \\
P_{c}=a^2+a^2+a^2\sqrt{2} \\
P_{c}=2a^2+a^2\sqrt{2} \\
P_{c}=(2+\sqrt{2})a^2$$

\(V=2592\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek sporządźmy prosty rysunek pomocniczy, którego najtrudniejszym elementem jest poprawne oznaczenie kąta między wysokością i ścianą boczną. Cała sytuacja będzie wyglądać w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OE\).
Odcinek \(OE\) jest połową długości boku kwadratu, który znajduje się w podstawie naszej bryły. Jego długość możemy obliczyć albo z funkcji trygonometrycznych, albo po prostu z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skorzystajmy może z własności takich trójkątów skoro jest taka okazja. Zgodnie z tymi własnościami, jeśli krótszą przyprostokątną (czyli \(OE\)) oznaczymy jako \(x\), to dłuższa przyprostokątna (czyli nasza wysokość ostrosłupa) będzie miała długość \(x\sqrt{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$x\sqrt{3}=18 \\
x=\frac{18}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x=\frac{18\sqrt{3}}{3} \\
x=6\sqrt{3}$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|OE|=6\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
W podstawie znajduje się kwadrat, którego bok jest dwa razy dłuższy od odcinka \(OE\), zatem:
$$a=2\cdot6\sqrt{3} \\
a=12\sqrt{3}$$

Tym samym pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=(12\sqrt{3})^2 \\
P_{p}=144\cdot3 \\
P_{p}=432$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia objętości ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot18 \\
V=2592$$