Twierdzenie Bezouta

Twierdzenie Bezouta związane jest z dzieleniem wielomianu przez dwumian \(x-a\) i brzmi ono następująco:

Twierdzenie Bezouta
Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu tylko wtedy, gdy ten wielomian jest podzielny przez \(x-a\).

Twierdzenie brzmi dość skomplikowanie, a i pojawia się jeszcze tutaj dość mylące słowo „pierwiastek”, więc przeanalizujmy to wszystko po kolei.

Co to jest pierwiastek wielomianu?
Wbrew pozorom nie chodzi tu o pierwiastek arytmetyczny zapisywany jako \(\sqrt{}\). Pierwiastek wielomianu to taka liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość równą \(0\).

Przykład 1. Czy liczba \(3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^3-5x^2-2x+24\)?

Aby się tego dowiedzieć, sprawdźmy jaką wartość liczbową przyjmuje ten wielomian dla \(x=3\).
$$W(3)=3^3-5\cdot3^2-2\cdot3+24=27-5\cdot9-6+24=27-45-6+24=0$$

Otrzymany wynik równy \(0\) oznacza, że liczba \(3\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Przykład 2. Czy liczba \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^3-5x^2-2x+24\)?

Analogicznie podstawiając \(x=-1\), otrzymamy:
$$W(-1)=(-1)^3-5\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+24=(-1)-5\cdot1-(-2)+24-1-5+2+24=20$$

Liczba \(-1\) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

W czym pomaga twierdzenie Bezouta?
Jeżeli wiemy, że przykładowo wielomian \(W(x)=x^3-5x^2-2x+24\) przyjmuje wartość równą \(0\) dla \(x=3\), to możemy być pewni, że ten wielomian jest podzielny przez dwumian \(x-3\). I odwrotnie – gdybyśmy otrzymali informację, że wielomian jest podzielny przez dwumian \(x-3\), to od razu wiemy, że \(W(3)=0\).

Ta wiedza, otwiera nam drogę do rozwiązywania trudniejszych równań trzeciego i wyższego stopnia. W jaki sposób? Mówiąc bardzo obrazowo, będziemy w stanie zamieniać równania w których pojawia się „duża potęga” na równania, w których ta potęga jest „mniejsza”, które to równania damy radę rozwiązać czy to w pamięci, czy też innych poznanych metod. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 3. Rozwiąż równanie \(x^3-5x^2-2x+24=0\).

Jest to dość trudne równanie, którego raczej samodzielnie nie rozwiążemy, a i nie istnieje jakiś specjalny wzór, który by nam to umożliwił. I tu właśnie z pomocą może nam przyjść twierdzenie Bezouta. Z pierwszego przykładu wiemy, że \(W(3)=0\), czyli że \(3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^3-4x^2+5x-6\). To sprawia, że możemy podzielić \(x^3-5x^2-2x+24\) przez \(x-3\), rozkładając w ten sposób wielomian na czynniki. Takie dzielenie możemy wykonać pisemnie lub z wykorzystaniem schematu Hornera. Spróbujmy może tej drugiej metody:

Rysujemy tabelkę i wypisujemy na górze współczynniki wielomianu \(x^3-5x^2-2x+24\), zatem:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -5 & -2 & 24 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

Skoro dzielimy przez \((x-3)\), to w lewym dolnym rogu wpisujemy \(3\), przepisujemy też stojącą w pierwszym wierszu jedynkę i mamy taką oto sytuację:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -5 & -2 & 24 \\
\hline
3 & 1 & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

Przystępujemy zatem do liczenia:
\(3\cdot1+(-5)=3-5=-2 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-5\) wpisujemy \(-2\)
\(3\cdot(-2)+(-2)=-6-2=-8 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-2\) wpisujemy \(-8\)
\(3\cdot(-8)+24=-24+24=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(24\) wpisujemy \(0\)

Tabelka będzie więc wyglądać następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -5 & -2 & 24 \\
\hline
3 & 1 & -2 & -8 & 0 \\
\hline
\end{array}$$

Zerkamy teraz na środkowe liczby z drugiego wiersza – są to współczynniki liczbowe otrzymanego wielomianu. Wyszło nam więc, że \(x^3-5x^2-2x+24\) po podzieleniu przez \(x-3\) daje wynik \(x^2-2x-8\), co sprawia, że całość możemy teraz rozpisać w następujący sposób:
$$x^3-4x^2+5x-6=0 \\
(x^2-2x-8)\cdot(x-3)=0$$

Teraz sprawa jest już dość prosta, ponieważ wystarczy przyrównać nawiasy do zera, zatem:
$$x^2-2x-8=0 \quad\lor\quad x-3=0$$

Pierwsze równanie to równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej. Możemy je rozwiązać korzystając z niezawodnej delty, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4-(-32)=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-6}{2\cdot1}=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+6}{2\cdot1}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Z równania kwadratowego otrzymaliśmy więc dwa rozwiązania, czyli \(x=-2\) oraz \(x=4\). Do obliczenia zostało nam jeszcze proste równanie liniowe, zatem:
$$x-3=0 \\
x=3$$

To oznacza, że całe równanie będzie mieć trzy rozwiązania:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=4 \quad\lor\quad x=3$$

Skąd wiemy, że dana liczba będzie pierwiastkiem danego wielomianu?
Przed chwilą rozwiązaliśmy dość trudne równanie trzeciego stopnia, a było to możliwe dzięki temu, iż wiedzieliśmy (z poprzednich przykładów), że liczba \(3\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Co jednak w sytuacji, gdybyśmy tego nie wiedzieli? Jak samodzielnie dojść do wniosku, że dana liczba jest tym rozwiązaniem?

Nie istnieje jeden idealny sposób na odgadnięcie takiej liczby. Generalnie trzeba byłoby trochę metodą prób i błędów typować i sprawdzać konkretne liczby. Zazwyczaj sprawdzamy np. \(W(1), W(2), W(-1)\) itd., aż któraś po prostu spełni to nasze równanie. Nie mniej jednak istnieją pewne wskazówki, dzięki którym odnalezienie poszukiwanej liczby jest znacznie prostsze. Kluczową podpowiedzią jest tak zwany wolny wyraz. Jeśli dane równanie ma jakieś rozwiązanie będące liczbą całkowitą, to ta liczba musi być dzielnikiem wolnego wyrazu.

Przykład 4. Znajdź jedno z rozwiązań równania \(x^3-x^2-23x+15=0\).

Wyrazem wolnym tego równania jest \(15\). Jeżeli więc to równanie ma jakieś rozwiązanie będące liczbą całkowitą, to musi to być dzielnik liczby \(15\). Typowalibyśmy więc którąś z tych liczb:
\(1, 3, 5\) oraz ujemne, czyli \(-1, -3, -5\)

Sprawdźmy po kolei, która z tych liczb pasuje, zaczynając od podstawienia \(x=1\).
$$W(1)=1^3-1^2-23\cdot1+15=1-1-23+15=-8$$

Otrzymany wynik jest różny od zera, więc to nie jest ta liczba.

To teraz sprawdźmy \(x=3\).
$$W(3)=3^3-3^2-23\cdot3+15=27-9-69+15=-36$$

Otrzymany wynik jest różny od zera, więc to nie jest ta liczba.

To teraz sprawdźmy \(x=5\).
$$W(5)=5^3-5^2-23\cdot5+15=125-25-115+15=0$$

Otrzymany wynik jest równy zero, a to oznacza, że \(x=5\) jest rozwiązaniem tego równania.

Oczywiście \(x=5\) nie jest jedynym rozwiązaniem tego równania, ale wiedząc, że jest to jedna z pasujących liczb, będziemy mogli (zgodnie z omawianym twierdzeniem Bezouta) podzielić \(x^3-x^2-23x+15\) przez \(x-5\). Dzięki temu otrzymamy postać, którą będziemy już w stanie rozwiązać (dokładnie tak jak w poprzednim przykładzie).

Jeśli chcesz się sprawdzić, to możesz rozwiązać całe równanie \(x^3-x^2-23x+15=0\) – będzie miało ono trzy rozwiązania: \(x=5\), \(x=-2-\sqrt{7}\) oraz \(x=-2+\sqrt{7}\).

Jeżeli żaden dzielnik wyrazu wolnego nie spełnia naszego równania, to nie oznacza jeszcze, że takie równanie nie ma rozwiązań. Jest to oczywiście możliwe (przecież nie każde równanie ma rozwiązania), ale równie dobrze może być i tak, że to równanie posiada rozwiązania, które nie są liczbami całkowitymi (np. \(x=\sqrt{5}\), \(x=\frac{1}{2}\) itd.). Na poziomie podstawowym z takimi sytuacjami raczej nie powinniśmy się spotkać (tutaj zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie będzie całkowite). Na poziomie rozszerzonym takie zadania trzeba byłoby rozwiązywać z wykorzystaniem pewnego doświadczenia i szybkiego liczenia w pamięci, sprawdzając w miarę sprawnie przynajmniej te najpopularniejsze warianty ułamków czy też pierwiastków.

Więcej informacji na temat wielomianów znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments