Matura próbna – Matematyka – Operon 2016

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy wykonać odpowiednie działania i przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, zatem:
$$x(x-1)\gt2(x+1)-4 \\
x^2-x\gt2x+2-4 \\
x^2-3x+2\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=2\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci typu \((x-y)^2=\frac{1}{2}\) lub podobnej polegającej na zwinięciu wyrażenia przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wymnażając poszczególne jednomiany otrzymamy:
$$2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1 \\
2(x^2-1)-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-2-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-4xy+2y^2=1 \\
2(x^2-2xy+y^2)=1 \\
x^2-2xy+y^2=\frac{1}{2} \\
(x-y)^2=\frac{1}{2} \\
x-y=\sqrt{\frac{1}{2}} \\
x-y=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąt \(ACB\) jest prosty i zapiszesz jakieś równanie wynikające z podobieństwa trójkątów.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować trójkąt, który będzie opierał się na średnicy tego półokręgu i będzie miał wierzchołek w punkcie \(C\). Z własności trójkątów wpisanych w okrąg wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie jednocześnie trójkątem prostokątnym.



Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zakończenie dowodzenia.
Poza tym, że mamy jeden duży trójkąt \(ABC\) to powstały nam dwa prostokątne trójkąty podobne \(ADC\) oraz \(DBC\) (cecha kąt-bok-kąt). Korzystając z tego podobieństwa możemy zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|BD|}{|CD|} \\
\frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
ab=2$$

Otrzymaliśmy dokładnie to co mieliśmy wykazać, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że drugim miejscem zerowym jest \(x=1\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8) \\
f(x)=a(x+1)^2-8$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że:
$$a\cdot(-3+1)^2-8=0 \\
a\cdot(-2)^2-8=0 \\
4a-8=0 \\
4a=8 \\
a=2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$

Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8 \\
f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8 \\
f(x)=2x^2+4x+2-8 \\
f(x)=2x^2+4x-6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że delta jest równa \(a^2+4a-4\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ułożenie układu równań.
Każdą prostą w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Z własności postaci kierunkowej wiemy, że współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. W naszym przypadku prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem \(b=0\). To oznacza, że naszą prostą możemy opisać wzorem \(y=ax\).

Szukamy miejsca przecięcia się prostej z parabolą. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się ze wzorów dwóch funkcji otrzymamy właśnie miejsce/miejsca przecięcia się wykresów. W związku z tym musimy ułożyć i rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=ax \\
y=(x-1)^2+1
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$ax=(x-1)^2+1 \\
ax=x^2-2x+1+1 \\
ax=x^2-2x+2 \\
ax-x^2+2x-2=0 \\
-x^2+ax+2x-2=0 \\
-x^2+(a+2)x-2=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe rozwiążemy dokładnie tak jak każde inne. Musimy tylko uważać na symbole, bo współczynnik \(a\) będzie nam się trochę "dublował" z niewiadomą \(a\):
Współczynniki: \(a=-1,\;b=a+2,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(a+2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=a^2+4a+4-8=a^2+4a-4$$

Teraz musimy skorzystać z bardzo ważnej informacji zaszytej w treści zadania, a mianowicie faktu, iż prosta z parabolą przecinają się tylko w jednym miejscu. Ta informacja mówi nam, że istnieje w takim razie tylko jedno rozwiązanie tego równania kwadratowego, a to z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie delta musi być równa \(0\) (bo tylko wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie). W związku z tym otrzymujemy równanie:
$$a^2+4a-4=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\)
Powstało nam więc tak naprawdę drugie równanie kwadratowe \(a^2+4a-4=0\), które tym razem da nam odpowiedź na pytanie - dla jakiego \(a\) delta jest równa \(0\), czyli dla jakiego \(a\) funkcja \(y=ax\) ma jedno miejsce przecięcia się z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-4)=16-(-16)=32 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2}=-2-2\sqrt{2} \\
a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2}=-2+2\sqrt{2}$$

Krok 5. Zapisanie równania prostej.
Żadnego z rozwiązań z poprzedniego kroku wykluczyć nie możemy, a to oznacza że warunki tego zadania będą spełniać dwie proste:
$$y=(-2-2\sqrt{2})x \quad\lor\quad y=(-2+2\sqrt{2})x$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia i ułożysz dwa równania z których da się później ułożyć układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań z treści zadania.
Zadanie jest trochę zagmatwane i wszystko sprowadza się tak naprawdę do poprawnego ułożenia dwóch równań z których stworzymy układ równań. Przyjmijmy, że:
\(a\) - obecny wiek Anki
\(d\) - obecny wiek Danki
\(a-d\) - różnica wieku między Anką i Danką

Teraz ułóżmy pierwsze równanie. Ze zdania "Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza" wynika, że:
$$a-(a-d)=3(d-(a-d))$$
lub też po prostu:
$$d=3(d-(a-d))$$

Drugie równanie wynika ze zdania "Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata", czyli:
$$a+(a-d)=42$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań wyznaczonych w pierwszym kroku powstaje nam układ równań, który musimy po prostu rozwiązać:
$$\begin{cases}
d=3(d-(a-d)) \\
a+(a-d)=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(d-a+d) \\
a+a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(2d-a) \\
2a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=6d-3a \\
d+42=2a
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
5d-3a=0 \\
d=2a-42
\end{cases}$$

Podstawiając \(d=2a-42\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$5\cdot(2a-42)-3a=0 \\
10a-210-3a=0 \\
7a=210 \\
a=30$$

Znając wiek Anki możemy obliczyć także wiek Danki, podstawiając \(a=30\) do jednego z równań:
$$d=2a-42 \\
d=2\cdot30-42 \\
d=60-42 \\
d=18$$

To oznacza, że Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długości połowy przekątnych (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu trzeba pamiętać, że przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym oraz że dzielą nam kąty rozwarte na dwie równe miary. W związku z tym całość wyglądać będzie w następujący sposób:



Krok 2. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wiemy, że suma długości przekątnych jest równa \(68\), czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$2x+2y=68$$

Dodatkowo wiemy, że tangens kąta \(α\) jest równy \(2,4\). Tangens opisuje zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(α\) do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, zatem:
$$tgα=2,4 \\
\frac{y}{x}=2,4$$

I to właśnie z tych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
\begin{cases}
2x+2y=68 \\
\frac{y}{x}=2,4
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ równań metodą podstawiania. W tym celu możemy wyznaczyć np. wartość igreka z drugiego równania i podstawić go do równania pierwszego:
$$\begin{cases}
2x+2y=68 \quad\bigg/:2 \\
\frac{y}{x}=2,4 \quad\bigg/\cdot x
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x+y=34 \\
y=2,4x
\end{cases}$$

Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
$$x+2,4x=34 \\
3,4x=34 \\
x=10$$

Znając wartość \(x=10\) możemy obliczyć brakującą wartość igreka, podstawiając iksa do jednego z równań:
$$10+y=34 \\
y=24$$

Krok 4. Obliczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na jeden z czterech trójkątów prostokątnych, które powstały nam w rombie. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$x^2+y^2=a^2 \\
10^2+24^2=a^2 \\
100+576=a^2 \\
a^2=676 \\
a=26 \quad\lor\quad a=-26$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=26\).

Krok 5. Obliczenie obwodu rombu.
Samo obliczenie obwodu jest już formalnością, bo już wiemy że nasz romb ma cztery boki o długości \(26\), zatem:
$$Obw=4\cdot26 \\
Obw=104$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\) (patrz: Krok 5.) oraz wysokość trójkąta (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) prostej \(AB\).
Prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(CP\). Wiemy, że prosta \(CP\) wyraża się wzorem \(-x-y=0\), czyli \(y=-x\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta symetralna ma ten współczynnik równy \(-1\) (bo przed iksem nie ma żadnej liczby i stoi minus), zatem prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot(-1)=-1 \\
a=1$$

To oznacza, że prosta \(AB\) wyraża się wzorem \(y=1x+b\), czyli \(y=x+b\).

Krok 3. Wyznacznie współczynnika \(b\) prostej \(AB\).
Do wyznaczenia współczynnika \(b\) posłuży nam punkt \(A\), którego współrzędne mamy podane w treści zadania. Podstawiając te współrzędne do wzoru \(y=x+b\) otrzymamy:
$$1=-4+b \\
b=5$$

To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana wzorem \(y=x+5\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt P jest miejscem przecięcia się dwóch prostych, których wzory są nam już znane. To oznacza, że możemy z równań tych prostych ułożyć układ równań, a rozwiązaniem tego układu będą właśnie współrzędne punktu \(P\).
$$\begin{cases}
y=-x \\
y=x+5
\end{cases}$$

Dodając równanie stronami otrzymamy:
$$2y=5 \\
y=\frac{5}{2}$$

Znamy już współrzędną igrekową, teraz musimy obliczyć współrzędną iksową, a zrobimy to podstawiając \(y=\frac{5}{2}\) do jednego z równań:
$$\frac{5}{2}=-x \\
x=-\frac{5}{2}$$

To oznacza, że \(P=\left(-\frac{5}{2};\frac{5}{2}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\) i \(AB\).
Długość odcinka \(AP\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}-(-4)\right)^2+\left(\frac{5}{2}-1\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}+4\right)^2+\left(\frac{5}{2}-1\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}} \\
|AP|=\sqrt{\frac{18}{4}} \\
|AP|=\sqrt{\frac{9}{2}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3}{\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
|AP|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Długość odcinka \(AP\) przyda nam się tak naprawdę tylko do tego, aby wyznaczyć długość odcinka \(AB\). Symetralna dzieli bok na dwie równe części, zatem odcinek \(AB\) będzie dwukrotnie dłuższy od odcinka \(AP\), czyli:
$$|AB|=2\cdot|AP| \\
|AB|=2\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
|AB|=3\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(CP\).
Odcinek \(CP\) jest wysokością naszego trójkąta, czyli miarą którą potrzebujemy do obliczenia pola powierzchni trójkąta. Znamy współrzędne punktu \(C\) oraz \(P\), zatem:
$$|CP|=\sqrt{(x_{P}-x_{C})^2+(y_{P}-y_{C})^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-5-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^2+\left(5-\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-5+\frac{5}{2}\right)^2+\left(5-\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2} \\
|CP|=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}} \\
|CP|=\sqrt{\frac{50}{4}} \\
|CP|=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} \\
|CP|=\frac{\sqrt{25\cdot2}}{2} \\
|CP|=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Krok 7. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Znamy długość podstawy \(|AB|=3\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość trójkąta jest równa \(|CP|=\frac{5\sqrt{2}}{2}\), zatem pole powierzchni tej figury będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CP| \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{15\cdot2}{2\cdot2} \\
P=\frac{30}{4} \\
P=7\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu geometrycznego ułożysz dwa równania (lub wręcz układ równań) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy rozwiązując układ równań doprowadzisz do równania z jedną niewiadomą, np. \(y^2-6y=0\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wartości \(x\) oraz \(y\), odrzucając rozwiązanie \(y=0\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych.
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{x-3+y}{2} \\
2x=x-3+y \\
x=-3+y$$

Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
y^2=x\cdot2y$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
$$\begin{cases}
x=-3+y \\
y^2=x\cdot2y
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$y^2=(-3+y)\cdot2y \\
y^2=-6y+2y^2 \\
y^2-6y=0 \\
y(y-6)=0 \\
y=0 \quad\lor\quad y=6$$

Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\).

Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$x=-3+y \\
x=-3+6 \\
x=3$$

Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy:
Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\)
Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)