Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej

Trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoboczne. Punkty \(A\), \(C\) i \(E\) leżą na jednej prostej. Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami odcinków \(AC\), \(CE\) i \(BD\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

trójkąty ABC i CDE są równoboczne

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Połączmy sobie punkty \(K\), \(L\) oraz \(M\) – tworzą one wierzchołki trójkąta, którego cechę równoboczności musimy udowodnić. Skoro trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoboczne, to możemy na rysunek nanieść też ich miary \(60°\).

matura z matematyki

Krok 2. Dostrzeżenie par odcinków równoległych.

Zarówno bok \(AB\) jak i \(CD\) są nachylone do podstawy czworokąta \(AEDB\) pod kątem \(60°\). To oznacza, że te odcinki są względem siebie równoległe, czyli \(AB||CD\).

Punkty \(K\) oraz \(M\) dzielą odcinki łączące te dwie proste równoległe dokładnie w połowie swojej długości, stąd też odcinek \(KM\) jest równoległy do odcinków \(AB\) i \(CD\), a więc i on jest nachylony do podstawy czworokąta pod kątem \(60°\). Ta zależność wynika także z Twierdzenia Talesa. Wiemy już więc, że \(\sphericalangle MKL=60°\).

Analogicznie sytuacja wygląda po drugiej stronie czworokąta. Odcinki \(CB\) oraz \(ED\) są nachylone do podstawy czworokąta pod tym samym kątem \(60°\), są więc względem siebie równoległe. Odcinek \(ML\) jest równoległy względem zarówno odcinka \(CB\) jak i \(ED\) (dokładnie z tego samego powodu o jakim mówiliśmy powyżej, analizując odcinek \(KM\)), a więc \(\sphericalangle MLK=60°\).

Dwa kąty w trójkącie KLM mają miarę \(60°\) więc i trzeci kąt musi mieć \(60°\), czyli jest to trójkąt równoboczny.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów.

Dodaj komentarz