Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3-x)(3+x)>(3-x)^2 jest

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \((3-x)(3+x)\gt(3-x)^2\) jest:

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
To zadanie śmiało możemy obliczyć podstawiając do równania poszczególne odpowiedzi (i to będzie prawdopodobnie najszybszy sposób). Chcąc jednak rozwiązać je samodzielnie dobrze byłoby rozpisać tę nierówność korzystając z dwóch wzorów skróconego mnożenia:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

W związku z tym:
$$(3-x)(3+x)\gt(3-x)^2 \\
9-x^2\gt9-6x+x^2 \\
-x^2\gt-6x+x^2 \\
-2x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe naszego wielomianu, czyli musimy przyrównać wyrażenie \(-2x^2+6x\) do zera. Najszybciej rozwiązalibyśmy to równanie sprowadzając całość do postaci iloczynowej:
$$-2x^2+6x=0 \quad\bigg/:-2 \\
x^2-3x=0 \\
x(x-3)=0$$

Mając tak zapisane równanie dość szybko wyszło nam, że miejscami zerowymi są \(x=0 \lor x=3\). Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej postaci iloczynowej, to możemy po prostu obliczyć to równanie korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-2)\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-6}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+6}{2\cdot(-2)}=\frac{0}{-4}=0$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy obliczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym by kółka były niezamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\))
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera, czyli \(x\in(0;3)\). Najmniejszą liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(1\) (bo \(0\) nie wchodzi w skład rozwiązania).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz