Trygonometria w stereometrii – zadania maturalne

\(sinα=\sqrt{\frac{22}{23}}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\
|AE|=4\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.), ale jedna z otrzymanych wartości będzie błędna w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz objętość ostrosłupa zapominając o tym, że we wzorze jest mnożenie przez \(\frac{1}{3}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(tgα=\frac{\sqrt{3}}{9}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):



Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\
a\sqrt{3}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\
72=4\sqrt{3}\cdot H \\
H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\
H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2 \\
|SO|=H=6\sqrt{3} \\
\text{więc} \\
tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\
tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy na rysunku zaznaczysz kąt między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i analiza danych z treści zadania.



Dorysujmy sobie wysokość naszego ostrosłupa, bo będzie nam ona potrzebna do obliczenia objętości. Widzimy wyraźnie, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACS\). Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wszystkie ramiona trójkąta \(ACS\) mają tą samą długość (patrz kolor pomarańczowy na rysunku), a więc na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ale... okazuje się, że on jest nawet nie tyle równoramienny, co równoboczny. Skąd to wynika? Wiemy, że między pomarańczowymi ramionami kąt ma miarę \(60°\). To oznacza, że kąty przy podstawie muszą mieć łącznie \(180°-60°=120°\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą mieć tą samą miarę, czyli każdy z nich ma\(120°:2=60°\). Z tego wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ACS\) będą mieć \(60°\).

Dostrzeżenie tej własności bardzo ułatwia nam rozwiązanie zadania, bo w tablicach mamy bezpośredni wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Gdybyśmy nie zauważyli że to trójkąt równoboczny, to moglibyśmy próbować obliczyć wysokość z tangensa w trójkącie \(AOS\).

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy na pewno kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Długość tej przekątnej jest podana w treści i wynosi \(|AC|=4\sqrt{2}\), zatem w podstawie mamy kwadrat o boku \(4\). To oznacza, że jego pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=4^2 \\
P_{p}=16$$

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=4\sqrt{2}\). Ta przekątna kwadratu jest jednocześnie podstawią naszego trójkąta równobocznego \(ACS\), a więc wysokość obliczymy w następujący sposób:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{2} \\
H=2\sqrt{6}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, więc możemy podstawić dane i obliczyć objętość ostrosłupa.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{6} \\
V=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy pole podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.



Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\
\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\
\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\
25a^2+96a^2=48400 \\
121a^2=48400 \\
a^2=400 \\
a=20$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=20^2 \\
P_{p}=400$$

Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\
H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\
H=8\sqrt{6}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\
V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności tangensa zapiszesz, że \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie np. \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy \(a=20\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań składający się przykładowo z równań: \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) oraz \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy\(a=20\) (patrz: Krok 3.) oraz obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=8\sqrt{6}\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{c}=144+384\sqrt{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2 \\
|BG|^2=3^2+4^2 \\
|BG|^2=9+16 \\
|BG|^2=25 \\
|BG|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2 \\
|GE|^2=5^2+4^2 \\
|GE|^2=25+16 \\
|GE|^2=41 \\
|GE|=\sqrt{41}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2 \\
|EB|^2=5^2+3^2 \\
|EB|^2=25+9 \\
|EB|^2=34 \\
|EB|=\sqrt{34}$$

Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25} \\
|BG|=5=\sqrt{25} \\
|GE|=\sqrt{41} \\
|EB|=\sqrt{34}$$

W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).

C

To zadanie jest bardzo proste jeśli pamiętamy że istnieje wzór na przekątną sześcianu. Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). W związku z tym skoro w naszym zadaniu \(a=9\), to przekątna ma długość \(9\sqrt{3}\).

Tego wzoru niestety nie ma w tablicach maturalnych, dlatego też jeśli byśmy o nim nie pamiętali, to musimy obliczyć to zadanie na piechotę. Zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:



Przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie ma długość \(a\sqrt{2}\), czyli w tym przypadku \(9\sqrt{2}\). Tworzy ona wraz z krawędzią boczną przyprostokątne trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest nasza poszukiwana przekątna sześcianu. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie nam, że:
$$9^2+(9\sqrt{2})^2=s^2 \\
81+81\cdot2=s^2 \\
81+162=s^2 \\
s^2=243 \\
s=\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot3}=9\sqrt{3}$$

C

Gdybyśmy połączyli ze sobą punkt \(I\) oraz \(K\) to otrzymalibyśmy trójkąt \(IKF\), którego jednym z kątów jest nasz poszukiwany \(\sphericalangle IFK\). Spróbujmy ustalić jaki będzie ten trójkąt \(IKF\). Wszystkie jego boku byłyby przekątnymi ścian, a skoro jest to sześcian, to każda z tych przekątnych miałaby tą samą długość. To oznacza, że trójkąt \(IKF\) jest równoboczny, a skoro tak, to \(|\sphericalangle IFK|=60°\).

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta \(ABD\), który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa \(H=a\), bo jest to sześcian, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^2\cdot a \\
V_{o}=\frac{1}{6}a^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą \(V=a^3\). Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
$$V_{p}=a^3-\frac{1}{6}a^3 \\
V_{p}=\frac{5}{6}a^3$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.

A

Aby nie popełnić błędu warto jest sobie po prostu dorysować odpowiednie długości i zaznaczyć poszukiwany kąt.



Z racji tego iż w poprawnym nazewnictwie wierzchołek kąta powinien być środkową literą zapisu, to poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle HOL\).