Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 12. Pole powierzchni całkowitej

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości \(12\). Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować tę sytuację, zaznaczając poprawnie wszystkie informacje z treści zadania:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie średnicą naszego okręgu znajdującego się w podstawie, zatem promień tego okręgu będzie równy:
$$r=12:2=6$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Skoro jest tutaj trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$l^2+l^2=12^2 \\
2l^2=144 \\
l^2=72 \\
l=\sqrt{72} \quad\lor\quad l=-\sqrt{72}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{72}\) i możemy jeszcze ten zapis nieco uprościć wyłączając czynnik przed znak pierwiastka:
$$l=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy przejść do obliczenia pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=πr^2+πrl \\
P_{c}=πr^2+πrl \\
P_{c}=π\cdot6^2+π\cdot6\cdot6\sqrt{2} \\
P_{c}=36π+36\sqrt{2} \\
P_{c}=36π(1+\sqrt{2})$$

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz