Miasta \(A\) i \(B\) są oddalone o \(450km\). Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \(75\) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \(18km/h\) mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
– prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)
– prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)
\(v\) – prędkość Pani Lidii
\(t\) – czas Pani Lidii
\(s=450\) – odległość między miastami
\(v-18\) – prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) – czas Pani Danuty
Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$
Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania – pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases}
450=vt \\
450=(v-18)(t+\frac{5}{4})
\end{cases}
Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \\
\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \\
\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \\
\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
v^2-18v-6480=0$$
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$
\(v_{Lidia}=90\frac{km}{h}\) oraz \(v_{Danuta}=72\frac{km}{h}\)
