Wskaż liczbę, która spełnia równanie |4x-5|=x

Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(|4x-5|=x\).

Rozwiązanie

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe:
$$|4x-5|=x \\
|4\cdot1-5|=1 \\
|4-5|=1 \\
|-1|=1 \\
1=1 \\
L=P$$

Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy:
$$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0 \\
4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5 \\
x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$

Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym:

Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku:
$$|4x-5|=x \\
4x-5=x \\
3x=5 \\
x=\frac{5}{3}$$

Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak:
$$|4x-5|=x \\
-(4x-5)=x \\
-4x+5=x \\
-5x=-5 \\
x=1$$

W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz