Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy:

promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(1\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Skoro długość promienia podstawy oraz wysokość tego walca są sobie równe, to trójkąt \(SAO\) wygląda mniej więcej w ten sposób:

promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca

Naszym zadaniem jest wyznaczenie sinusa kąta \(α\). Tak naprawdę można byłoby na tym kroku zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo widzimy że jest to trójkąt równoramienny prostokątny, a więc kąt ostry musi mieć miarę \(α=45°\). Skoro tak, to możemy odczytać z tablic, że:
$$sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego, to można dotrzeć do tej wartości trochę dłuższym sposobem.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(d\).

Już po samym rysunku widzimy, że odcinek \(d\) jest tak jakby przekątną kwadratu o boku długości \(r\), zatem na pewno \(d=r\sqrt{2}\). Gdybyśmy o tym nie pamiętali, to zawsze możemy się jeszcze ratować Twierdzeniem Pitagorasa:
$$r^2+r^2=d^2 \\
2r^2=d^2 \\
d=\sqrt{2r^2} \\
d=r\sqrt{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości sinusa kąta \(OAS\).

Zgodnie z własnościami funkcji trygonometrycznych:
$$\require{cancel}
sinα=\frac{r}{d} \\
sinα=\frac{\cancel{r}}{\cancel{r}\sqrt{2}} \\
sinα=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Odpowiedź:

B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dodaj komentarz