Matura – Matematyka – Czerwiec 2012

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy więc na osi liczbowej miejsca zerowe wyznaczone w pierwszym kroku. Kropki przy miejscach zerowych będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli takie, które znalazły się pod osią \(Ox\). To oznacza, że rozwiązaniem zadania będzie przedział: \(x\in(-2;5)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymasz postać równania z jedną niewiadomą.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(s\) - suma lat wszystkich studentów
\(n\) - liczba studentów
\(s+39\) - suma lat wszystkich studentów i opiekuna
\(n+1\) - liczba studentów wraz z opiekunem

Krok 2. Zbudowanie układu równań i rozwiązanie go.
Na podstawie danych z zadania możemy zapisać następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{s}{n}=23 \quad\bigg/\cdot n \\
\frac{s+39}{n+1}=24 \quad\bigg/\cdot(n+1)
\end{cases}\begin{cases}
s=23n \\
s+39=24\cdot(n+1)
\end{cases}\begin{cases}
s=23n \\
s+39=24n+24
\end{cases}

Wartość z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego, otrzymując w ten sposób:
$$23n+39=24n+24 \\
-n=-15 \\
n=15$$

Zgodnie z naszym zapisem w pierwszym kroku \(n\) to łączna liczba studentów, zatem w grupie było \(15\) studentów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz wysokość trapezu, ale konsekwentnie do popełnionego błędu obliczysz pole trapezu.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie wszystkie długości, które są podane w treści zadania oraz oznaczmy kąt ostry, którego znamy wartość tangensa:



Od razu też zaznaczyliśmy sobie, że skoro \(|AE|=|DC|\), to \(|EB|=10-6=4\).

Krok 2. Wyznaczenie długości wysokości trapezu, czyli odcinka \(CE\).
Wykorzystamy tutaj wartość tangensa (który jest równy \(3\)) oraz obliczoną przed chwilą długość odcinka \(EB\):
$$tgα=\frac{|CE|}{|EB|} \\
3=\frac{|CE|}{4} \\
|CE|=12$$

Wysokość trójkąta jest więc równa \(h=12\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znamy długości obydwu podstaw, obliczyliśmy przed chwilą wysokość trapezu, tak więc możemy wszystkie te dane podstawić do wzoru na pole trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(6+10)\cdot12 \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot12 \\
P=96$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie z użyciem jedynki trygonometrycznej w taki sposób, że w równaniu występuje już tylko jedna funkcja trygonometryczna (sinus lub cosinus).
ALBO
• Gdy przekształcisz to równanie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i po lewej stronie otrzymasz postać \((sin^2α+cos^2α)(sin^2α-cos^2α)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Najprościej będzie przeprowadzić dowód przekształcając lewą stronę tego równania przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
$$sin^2α+cos^2α=1 \Rightarrow sin^2α=1-cos^2α$$

$$L=sin^4α+cos^2α \\
L=(sin^2α)^2+cos^2α \\
L=(1-cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2\cdot1\cdot cos^2α+(cos^2α)^2+cos^2α \\
L=1-2cos^2α+cos^4α+cos^2α \\
L=\color{orange}{1-cos^2α}+cos^4α \\
L=\color{orange}{sin^2α}+cos^4α$$

Udało nam się doprowadzić lewą stronę równania do postaci \(sin^2α+cos^4α\), czyli dokładnie takiej postaci jaka znajduje się po prawej stronie równania z treści zadania. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy udowodnisz to zadanie podstawiając trzy konkretne liczby całkowite.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie do postaci \(3n^2+6n+5\) i tym samym nie wyciągniesz odpowiedniego czynnika przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(n\) - pierwsza liczba
\(n+1\) - druga liczba
\(n+2\) - trzecia liczba

Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5= \\
=3(n^2+2n+1)+2$$

Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(a_{1}=-1\) oraz \(a_{2}=1\) oraz \(r=2\) (patrz: Krok 1. oraz 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(S_{1}=-1\) oraz \(S_{2}=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1} \\
a_{1}=n^2-2n \\
a_{1}=1^2-2\cdot1 \\
a_{1}=1-2 \\
a_{1}=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2} \\
2^2-2\cdot2=-1+a_{2} \\
4-4=-1+a_{2} \\
0=-1+a_{2} \\
a_{2}=1$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=-1+(n-1)\cdot2 \\
a_{n}=-1+2n-2 \\
a_{n}=2n-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu \(a=10\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych np. (\a\cdot h=50\sqrt{2}\) oraz \(\frac{h}{a}=sin45°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Znając miarę kąta między bokami rombu oraz jego pole powierzchni, możemy wyznaczyć długość boku rombu z następującego wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$P=a^2\cdot sinα \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot sin45° \\
50\sqrt{2}=a^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
100\sqrt{2}=a^2\cdot\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a^2=100 \\
a=10$$

Krok 2. Obliczenie wysokości rombu.
Znamy pole powierzchni, znamy długość boku rombu, więc do wyznaczenia poszukiwanej wysokości możemy posłużyć się następującym wzorem na pole rombu:
$$P=a\cdot h \\
50\sqrt{2}=10\cdot h \\
h=5\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli że \(a=2\).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(P=15\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej, przechodzącej przez punkt \(C\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(CD=\sqrt{5}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiedni układ równań składający się z dwóch prostych (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu jako \(D=(x;\;2x+7)\) i zapiszesz równanie z jedną niewiadomą typu \(\sqrt{(x-6)^2+(2x+7-14)^2}=\sqrt{5}\)
ALBO
• Gdy źle wyznaczysz równanie prostej \(AB\), albo źle obliczysz pole trójkąta, ale konsekwentnie dalej rozwiązujesz zadanie poprawnie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
ALBO
• Gdy gdy sporządzisz dokładny rysunek i z niego odczytasz poszukiwane współrzędne.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.



Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy:
$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 \\
(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0 \\
6y-66-12x+24=0 \\
6y-12x-42=0 \\
6y=12x+42 \quad\bigg/:6 \\
y=2x+7$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\).
Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
14=-\frac{1}{2}\cdot6+b \\
14=-3+b \\
b=17$$

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem:
\begin{cases}
y=2x+7 \\
y=-\frac{1}{2}x+17
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x+14=-x+34 \\
5x=20 \\
x=4$$

Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:
$$y=2\cdot4+7 \\
y=8+7 \\
y=15$$

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz na ile różnych sposobów można wpisać cyfry z dwóch grup cyfr (z trzech, które analizowaliśmy).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz na ile różnych sposobów można wpisać cyfry z trzech grup cyfr (czyli wszystkich, które analizowaliśmy).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Podzielmy sobie nasze cyfry na trzy grupy:
I grupa: Cyfra \(\{7\}\) - w naszej liczbie musi znaleźć się dokładnie jedna siódemka. Jej miejsce możemy określić na \(5\) różnych sposobów:
$$7■■■■ \\
■7■■■ \\
■■7■■ \\
■■■7■ \\
■■■■7$$

II grupa: Cyfry \(\{2,4,6,8\}\) - to wszystkie cyfry parzyste. Wiemy, że w zapisie na dowolnym miejscu musi znaleźć się jedna z nich. Jedno miejsce mamy już obsadzone siódemką, pozostają nam już tylko cztery możliwości. Mamy więc sytuację w której cztery liczby mogą zająć jedno z czterech miejsc, a to z kolei oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia mamy \(4\cdot4=16\) możliwości.

III grupa: Cyfry \(\{1,3,5,9\}\) - to pozostałe cyfry, którymi musimy obsadzić trzy pozostałe miejsca w naszej pięciocyfrowej liczbie. Pierwsze z wolnych miejsc możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo mamy cztery cyfry do wyboru), drugie miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo liczby mogą się powtarzać), trzecie wolne miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby. Z reguły mnożenia wynika, że mamy \(4\cdot4\cdot4=64\) możliwości.

Teraz musimy ponownie zastosować regułę mnożenia i wymnożyć przez siebie wszystkie otrzymane możliwości, otrzymując w ten sposób:
$$5\cdot16\cdot64=5120$$

Istnieje więc \(5120\) liczb pięciocyfrowych, które spełniają warunki naszego zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta \(ABF\), czyli \(FG=13\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli odcinka \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość odcinka \(FG=13\) jak i \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej \(AF=\sqrt{185}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa, czyli \(H=11\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości - pierwszą niech będzie wysokość trójkąta \(ABC\) oraz drugą, tym razem trójkąta \(ABF\). Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość \(8\).



Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\), czyli odcinka \(FG\).
Możemy dostrzec, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (\(P=52\)) oraz długości podstawy trójkąta (\(a=8\)) możemy obliczyć wysokość trójkąta \(ABF\):
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1} \\
52=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h_{1} \\
52=4h_{1} \\
h_{1}=13$$

Wysokość \(|FG|\) jest więc równa \(13\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\), czyli odcinka \(CG\).
Jak już sobie ustaliliśmy - w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości \(a=8\). Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$h_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=4\sqrt{3}$$

Wysokość \(|CG|\) jest więc równa \(4\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka \(FC\).
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta \(FCG\):
$$|FC|^2+|CG|^2=|FG|^2 \\
|FC|^2+(4\sqrt{3})^2=13^2 \\
|FC|^2+16\cdot3=169 \\
|FC|^2+48=169 \\
|FC|^2=121 \\
|FC|=11$$

Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa \(H=11\).

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}\cdot11 \\
V=176\sqrt{3}$$