Pole prostokąta jest równe \(40\). Stosunek długości jego boków jest równy \(2:5\). Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
\(x\) – długość krótszego boku
\(y\) – długość dłuższego boku
\(\frac{x}{y}=\frac{2}{5}\), bo stosunek boków jest równy \(2:5\)
Wiedząc jaki jest stosunek boków i że pole figury jest równe \(40\) bez problemów ułożymy następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=40 \\
\frac{x}{y}=\frac{2}{5}
\end{cases}
W pierwszym równaniu dzielimy obie strony przez \(40\), a w drugim mnożymy wartości z ułamków na krzyż otrzymując:
\begin{cases}
x=\frac{40}{y} \\
5x=2y
\end{cases}
Podstawiamy wartość \(x=\frac{40}{y}\) z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy:
$$5\cdot\frac{40}{y}=2y \\
\frac{200}{y}=2y \quad\bigg/\cdot y \\
200=2y^2 \quad\bigg/:2 \\
y^2=100 \\
y=10 \quad\lor\quad y=-10$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości. To oznacza, że \(y=10\), a skoro jest to dłuższy bok naszego prostokąta (tak wynika z oznaczeń), to prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.
A. \(10\)
