Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\):
nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
ma dokładnie pięć rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
Rozwiązanie:
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie:
$$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$
Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Odpowiedź:
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
