Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle0;4\rangle\).
Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)).
Współrzędną wierzchołka paraboli \(x_{W}\) dla funkcji określonej wzorem w postaci \(ax^2+bx+c\) obliczymy w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$
Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że \(x=3\) mieści się w przedziale \(\langle0;4\rangle\), więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach.
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.
$$f(0)=0^2-6\cdot0+3=0-0+3=3 \\
f(4)=4^2-6\cdot4+3=16-24+3=-5 \\
f(3)=3^2-6\cdot3+3=9-18+3=-6$$
Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale \(\langle0;4\rangle\) jest więc \(-6\) (dla \(x=3\)), a największą jest \(3\) (dla \(x=0\)).
Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\).
Ale XD jesli chcemy wyznaczyć wartość paraboli to powinniśmy policzyć q a nie p, wiec w takim razie powinniśmy z funkcji policzyć delte i potem -delte podzielić przez 4a i to będzie nasza wartość największa
A skąd wiesz, że wierzchołek paraboli mieści się w podanym przedziale? To jest właśnie kluczowa pułapka w tego typu zadaniach. Wyliczamy p, by sprawdzić, czy ten wierzchołek mieści się w przedziale – jak mieści się, to możemy liczyć q (możemy nawet Twoim sposobem, choć jak już znamy p, to moim sposobem jest zazwyczaj prościej). W tym konkretnym zadaniu rzeczywiście by Ci się upiekło i Twój sposób z wyliczeniem q byłby ok. Ale w innym, identycznym zadaniu miałbyś za to zadanie 0 punktów ;)
Dzięki bardzo się przydało \(๑╹◡╹๑)ﾉ♬
nie rozumiem przecież -6 nie należy do przedziału
Przedział dotyczy argumentów x, a my policzyliśmy wartość funkcji, czyli y ;) Dla x=3 (który mieści się w przedziale) funkcja przyjęła wartość równą -6 ;)