Zmiany w maturze 2023 i 2024 – Matematyka

1. Zadania jednokrotnego wyboru – to standardowe zadania, które będą zazwyczaj zawierały cztery możliwe odpowiedzi ABCD, spośród których tylko jedna będzie poprawna.

Przykładowe zadanie:
Wartość wyrażenia \(2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}\) jest równa:

2. Zadania wielokrotnego wyboru – z listy podanych odpowiedzi (których często będzie więcej niż cztery) będziemy musieli wybrać te, które spełniają warunki zadania. Co ważne, treść zadania zazwyczaj będzie sugerować, że mamy kilka prawidłowych odpowiedzi (pojawią się sformułowania typu „wybierz dwie poprawne odpowiedzi”).

Przykładowe zadanie:
Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Liczba \(x\) jest wymierna dla:

3. Zadania podwójne z odpowiedziami typu A-D oraz E-H – zadanie będzie rozbite na dwie części, z czego pierwsza będzie miała do wyboru jedną z odpowiedzi A-D, natomiast druga będzie miała odpowiedzi E-H.

Przykładowe zadanie:
Pensja pana \(X\) jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana \(Y\) jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

1. Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\):

2. Pensja pana \(Y\) jest niższa od pensji pana \(X\):

4. Zadania typu prawda-fałsz – będziemy musieli określić prawdziwość podanych zadań, wybierając opcję P (prawda) lub F (fałsz).

Przykładowe zadanie:
Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\) oraz \(90°\lt\alpha\lt180°\).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)	P	F
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)	P	F

5. Zadania typu ABC, ponieważ… – w treści zadania pojawi się pytanie, na które będziemy musieli odpowiedzieć zaznaczając jedną z proponowanych odpowiedzi ABC, wybierając przy okazji poprawne uzasadnienie.

Przykładowe zadanie:
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Funkcja \(f\):

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,	ponieważ	1. \(b^2+60\gt0\)
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,		2. \(b^2+60=0\)
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,		3. \(b^2+60\lt0\)

6. Zadania na dobieranie – tutaj zostanie podanych kilka propozycji, które będziemy musieli dopasować do np. rysunku, wzoru lub jakiegoś wyrażenia (zazwyczaj będzie się to odbywać w formie tabelki).

Przykładowe zadanie:
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.

Ta funkcja jest określona dla \(x\in\langle−3, 5\rangle\). Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco:
$$y=g(x)=f(x+2) \quad\quad\quad y=h(x)=f(-x)$$

Na rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji – w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\). Każdej z funkcji \(y=g(x)\) oraz \(y=h(x)\) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.

Zadanie	Funkcja	Rysunek
1.	\(y=g(x)\)
2.	\(y=h(x)\)

1. Zadania z luką – tutaj będziemy musieli uzupełnić zdanie, najczęściej jakimś wyrażeniem matematycznym lub kilkoma słowami.

Przykładowe zadanie:
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in\langle-5,8\rangle\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(……………\) , a najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(……………\) .

2. Zadania krótkiej odpowiedzi – to będą zadania wymagające stosunkowo prostych i szybkich obliczeń (czyli to będą takie typowe zadania za 2 punkty).

Przykładowe zadanie:
Rozwiąż równanie:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$

3. Zadania rozszerzonej odpowiedzi – to zadania bardzo rozbudowane, które wymagają od nas obrania dobrej strategii rozwiązania problemu i wykonania sporej ilości obliczeń (takie zadania będą warte zazwyczaj 4-5 punktów).

Przykładowe zadanie:
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB|=3r\) oraz \(|AC|=\sqrt{3}r\).

Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).

4. Wiązki zadań – są to zadania łączone, które mają wspólny kontekst tematyczny. Mówiąc wprost, w ramach jednego zadania będziemy mieć kilka „podzadań” zamkniętych i/lub otwartych, które będą osobno punktowane.

Przykładowe zadanie:
Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(F\). Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(F\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dominantą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest:

A. \(10\) tys. zł	ponieważ	1. tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).
B. \(4,5\) tys. zł		2. ta wartość zarobków jest największa w firmie \(F\).
C. \(4\) tys. zł		3. iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie \(F\).

Zadanie 2.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Medianą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest \(……………..\) tys. zł.

Zadanie 3.
Oblicz, jaki \(\%\) liczby wszystkich pracowników firmy \(F\) stanowią osoby zarabiające \(5,5\) tys. zł lub mniej.

Zadanie 4.
Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy \(F\). Wynik podaj bez zaokrąglania.

I. Liczby rzeczywiste.

Zdający:
1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych;
3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli \(x\lt y\) oraz \(a\gt 1\), to \(a^x \lt a^y\), zaś gdy \(x\lt y\) i \(0\lt a\lt1\), to \(a^x\gt a^y\);
6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: \(|x+4|=5\), \(|x-2|\lt3\), \(|x+3|\ge4\);
8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat;
9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

II. Wyrażenia algebraiczne.

Zdający:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\);
2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu \(W(x)=2x^3-\sqrt{3}x^2+4x-2\sqrt{3}\);
5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).

III. Równania i nierówności.

Zdający:
1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
6) rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań.

Zdający:
1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

V. Funkcje.

Zdający:
1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12) na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\);
13) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

VI. Ciągi.

Zdający:
1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
3) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
4) stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
5) stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
6) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

VII. Trygonometria.

Zdający:
1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od \(0°\) do \(180°\), w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla
kątów \(30°, 45°, 60°\);
2) korzysta z wzorów \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1, tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\);
3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\gamma\);
4) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów).

VIII.Planimetria.

Zdający:
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7) stosuje twierdzenia: Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zdający:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2) posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4) posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\);
5) oblicza odległość punktu od prostej;
6) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

X. Stereometria.

Zdający:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną;
3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów;
4) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
5) wykorzystuje zależność między objętościami graniastosłupów oraz ostrosłupów podobnych.

XI. Kombinatoryka.

Zdający:
1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(1\) i dokładnie jedna cyfra \(2\),
b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(0\) i dokładnie jedna cyfra \(1\).

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Zdający:
1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
3) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.