Matura – Matematyka – Maj 2010

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-3}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+3}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma skierowane ramiona ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-1\) oraz \(x=2\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą lub równą zero. Czyli patrzymy w których miejscach wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\). W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: \(x\in\langle-1;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-7x^2-4x+28=0 \\
x^2(x-7)-4(x-7)=0 \\
(x^2-4)(x-7)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad x-7=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=7$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz lub domyślisz się że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające i na tej podstawie zapiszesz równość \(|AD|=|BE|\), ale nie przeprowadzisz na to skutecznego dowodu.
2 pkt
• Gdy udowodnisz, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok i na tej podstawie zakończysz dowodzenie całego zadania.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy wymagane odcinki \(AD\) oraz \(BE\) (patrz kolor niebieski).



Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające (cecha bok-kąt-bok).
Z treści zadania wynika, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: kolor zielony) oraz \(|DC|=|EC|\) (patrz: kolor pomarańczowy).
Jeśli jeszcze wykażemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) mają identyczną miarę kąta przy wierzchołku \(C\), to będziemy mogli stwierdzić, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające. Jeśli tak rzeczywiście będzie, to będzie to oznaczało, że i trzecia para boków jest równej długości, czyli że \(|AD|=|BE|\).

Zaznaczmy sobie na rysunku miary poszczególnych kątów.



Z zadania możemy wyczytać, że \(\sphericalangle ACB=90°\) oraz \(\sphericalangle DCE=90°\), a więc:
$$α=90°-β \\
γ=90°-β$$

Wykazując, że kąty \(α\) oraz \(γ\) są równej miary zakończyliśmy dowodzenie, bo już wiemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, a więc \(|AD|=|BE|\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie z użyciem jedynki trygonometrycznej i z wykorzystaniem własności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy lub na tym poprzestaniesz rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny, ale np. pomylisz się przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej.
ALBO
• Gdy bez jakichkolwiek obliczeń odczytasz z tablic maturalnych przybliżoną miarę kąta (22° lub 23°) i na tej podstawie podasz przybliżony wynik funkcji \(cosα\).
ALBO
• Gdy w końcowym rozwiązaniu nie odrzucisz ujemnego rozwiązania, czyli nie odrzucisz \(cosα=-\frac{12}{13}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań:

\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}\begin{cases}
\frac{5}{12}cosα=sinα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego:
$$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1 \\
\frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\
cos^2α=\frac{144}{169} \\
cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \\
cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \\
cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{12}{13}$$

Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy pod niewiadomą \(a\) podstawisz jakąś konkretną wartość liczbową.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie do postaci ogólnej np. \(a^2-2a+1\ge0\) i na tym poprzestaniesz rozwiązywanie zadania lub w dalszej części popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dokonasz innej (poprawnej) formy przekształcenia nierówności, ale nie zapiszesz żadnych wniosków wynikających z rozwiązania, albo zapisane wnioski będą nieprawdziwe.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci ogólnej.
Analizujemy sytuację, w której \(a\gt0\). To bardzo ważna informacja, bo dzięki niej mamy pewność, że chcąc pomnożyć obie strony przez \(a+1\) nie zmieni nam się znak nierówności, bo \(a+1\) jest na pewno dodatnie. Przypomnę, że gdybyśmy pomnożyli nierówność przez wartość ujemną, to zmieniłby nam się jej znak. Tutaj takich obaw nie ma, dlatego możemy wymnożyć obie strony równania przez \(a+1\) oraz przez \(2\). Możemy to zrobić za jednym razem, albo też krok po kroku, aby uniknąć niepotrzebnych pomyłek.
$$\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2} \quad\bigg/\cdot(a+1) \\
a^2+1\ge\frac{(a+1)\cdot(a+1)}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2a^2+2\ge(a+1)^2 \\
2a^2+2\ge a^2+2a+1 \\
a^2-2a+1\ge0$$

Teraz zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
Sposób I:
Krok 2a. Przekształcenie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), a więc otrzymamy:
$$(a-1)^2\ge0$$

Krok 3a. Interpretacja wyniku.
Każda liczba (czy to dodatnia, czy to ujemna) podniesiona do potęgi drugiej da nam wartość większą lub równą zero, więc udowodniliśmy że twierdzenie wskazane w zadaniu jest prawdziwe.

Sposób II:
Krok 2b. Wyznaczenie miejsc zerowych nierówności \(a^2-2a+1\ge0\).
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{0}=0$$

$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3b. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik kierunkowy \(a\) stojący przed wartością \(x^2\) jest dodatni. Wykres będzie więc wyglądał następująco:



Krok 4b. Odczytanie rozwiązania z wykresu i interpretacja wyniku.
Szukamy przedziałów, w których wykres naszej funkcji jest dodatni lub równy zero, czyli kiedy wykres jest nad osią lub na niej. Okazuje się, że każda liczba spełnia warunki naszego zadania, a to oznacza, że udowodniliśmy, że także liczby dodatnie \(a\gt0\) spełniają warunki tej nierówności.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(|DC|=3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|DA|=3\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.



Z rysunku pomocniczego widzimy, że dzięki temu iż przekątna utworzyła nam trójkąt równoboczny to znamy już tak naprawdę trzy długości (z czego dwie przydadzą nam się bezpośrednio do obliczenia obwodu):
$$|AB|=|AC|=|BC|=6$$

Pozostaje nam do rozstrzygnięcia jaka jest długość boku \(DA\) oraz \(DC\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(DA\).
Długość tego boku jest identyczna co wysokość naszego trójkąta równoramiennego, czyli \(|DA|=|CE|\). Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy szybko obliczyć wysokość figury.
$$|DA|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(DC\).
Długość boku \(DC\) możemy obliczyć tak naprawdę na dwa sposoby. Jeśli pamiętamy, że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części, to po wyprowadzeniu wysokości z wierzchołka \(C\) otrzymamy bok \(AE\), którego długość jest równa \(3\) (patrz rysunek). Analogicznie więc bok \(DC\) ma długość \(3\).



Jeśli nie widzimy tej zależności, to możemy obliczyć długość boku \(DC\) z Twierdzenia Pitagorasa, bo długość \(DA\) i \(CA\) jest nam przecież znana.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|DC|^2+|DA|^2=|CA|^2 \\
|DC|^2+(3\sqrt{3})^2=6^2 \\
|DC|^2+(9\cdot3)=36 \\
|DC|^2+27=36 \\
|DC|^2=9 \\
|DC|=3 \quad\lor\quad |DC|=-3$$

(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)

Krok 4. Obliczenie długości obwodu.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc bez problemu obliczymy długość naszego obwodu:
$$Obw=6+6+3+3\sqrt{3}=15+3\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania jest niewielki np. obliczysz że \(|AB|=5\) lub \(|AC|=5\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania zadania jest nieco większy i np. obliczysz że wysokość trójkąta \(ABC\) jest równa \(h=4\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy dojdziesz do poprawnego obliczenia pola podstawy (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.



W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\).
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
|AB|^2+12^2=13^2 \\
|AB|^2+144=169 \\
|AB|^2=25 \\
|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$

(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)

Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\).



W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\
h^2+3^2=5^2 \\
h^2+9=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)

Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie.
$$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\
P_{p}=12$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:
$$P_{p}=12 \\
H=12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) i wypiszesz jakie są zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 1. oraz 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania lub dalej rozwiązujesz błędnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) oraz podasz ile jest łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=6\) (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Na każdej z kostek może wypaść jedna z sześciu cyfr - \(1, 2, 3, 4, 5\) oraz \(6\). Wyniki na kostkach są niezależne względem siebie. Skoro na jednej kostce mamy \(6\) różnych możliwości i na drugiej także mamy \(6\) różnych możliwości, to łącznie jest ich:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której iloczyn liczby oczek jest podzielny przez \(12\) (czyli kiedy iloczyn będzie równy \(12\), \(24\) lub \(36\)). Taką sytuację będziemy mieć tylko w sześciu przypadkach:
$$(2,6),(4,3),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)$$

Zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego i nie utworzysz z nich pary rozwiązań.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(s\) - szerokość pierwszego basenu
\(d\) - długość pierwszego basenu

\(s+2\) - szerokość drugiego basenu
\(d+5\) - długość drugiego basenu

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie tych danych możemy stworzyć prosty układ równań.
\begin{cases}
sd=240 \\
(s+2)(d+5)=350
\end{cases}

Wymnażamy wartości w nawiasach z drugiego równania:
\begin{cases}
sd=240 \\
sd+5s+2d+10=350
\end{cases}

Podstawiamy \(sd=240\) z pierwszego równania do drugiego:
$$240+5s+2d+10=350 \\
5s+2d=100$$

Skoro \(sd=240\), to \(s=\frac{240}{d}\). Podstawiamy to do naszego powyższego równania, otrzymując:
$$5\cdot\frac{240}{d}+2d=100 \\
\frac{1200}{d}+2d=100$$

Teraz musimy wymnożyć równanie przez \(d\) i doprowadzić je do postaci ogólnej równania kwadratowego (czyli takiej, gdzie po prawej stronie będzie wartość \(0\)). Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z metody delty.
$$\frac{1200}{d}+2d=100 \quad\bigg/\cdot d \\
1200+2d^2=100d \\
2d^2-100d+1200=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-100,\;c=1200\)
$$Δ=b^2-4ac=(-100)^2-4\cdot2\cdot1200=10000-9600=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)-20}{2\cdot2}=\frac{80}{4}=20 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)+20}{2\cdot2}=\frac{120}{4}=30$$

Krok 4. Interpretacja wyniku i wyznaczenie ostatecznych długości basenów.
Otrzymaliśmy dwie różne możliwości długości krótszego basenu. Obydwie są poprawne, nie możemy ich odrzucić. W związku z tym będziemy mieć także dwa warianty szerokości tego basenu:
• Jeśli \(d=20\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=12\), bo \(P=12\cdot20=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=12\times20\).
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(14\times25\).
• Jeśli \(d=30\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=8\), bo \(P=8\cdot30=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=8\times30\).
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(10\times35\).