Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa:

\(36π\)
\(18π\)
\(24π\)
\(8π\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\), to znaczy że powstanie nam mniej więcej coś takiego:

kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni

Udało nam się wyodrębnić trójkąt prostokątny, tak więc znając miary poszczególnych kątów oraz znając miarę tworzącej stożka jesteśmy w stanie obliczyć wysokość i promień stożka przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Możemy także skorzystać z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia stożka.

Zgodnie z zasadami trygonometrii:
$$\frac{r}{4}=cos30° \\
\frac{r}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
r=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości stożka.

Ponownie użyjemy funkcji trygonometrycznych, tym razem sinusa:
$$\frac{h}{4}=sin30° \\
\frac{h}{4}=\frac{1}{2} \\
h=2$$

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.

Znając długość promienia podstawy oraz wysokość stożka możemy bez przeszkód obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2h \\
V=\frac{1}{3}π\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot2 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot4\cdot3\cdot2 \\
V=\frac{1}{3}π\cdot24 \\
V=8π$$

Odpowiedź:

D. \(8π\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!