Równania wielomianowe charakteryzują się tym, że da się je zapisać w postaci typu \(W(x)=0\). Cała trudność tego zagadnienia związana jest z tym, że nasz wielomian \(W(x)\) może być wielomianem np. trzeciego lub wyższego stopnia. To sprawia, że będziemy musieli mierzyć się z dość nietypowymi równaniami, których do tej pory na matematyce nie rozwiązywaliśmy. W tym temacie dowiemy się jak sobie radzić z takimi równaniami i za pomocą jakich metod możemy rozwiązywać takie przykłady.
Pierwiastek wielomianu
Zanim przejdziemy do obliczeń, warto zwrócić uwagę na nazewnictwo, które towarzyszy temu tematowi. Bardzo często będziemy mówić, że jakaś liczba jest pierwiastkiem wielomianu. To nie ma nic wspólnego z tradycyjnym pierwiastkiem arytmetycznym zapisywanym jako \(\sqrt{}\). Pierwiastek wielomianu to po prostu liczba, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego. Mówiąc jeszcze bardziej obrazowo – pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Przykładowo pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^3-125\) będzie \(5\), ponieważ:
$$W(5)=5^3-125=125-125=0$$
Równania pierwszego i drugiego stopnia
W temacie równań wielomianowych mogą się oczywiście pojawić proste równania pierwszego i drugiego stopnia, zwane liniowymi i kwadratowymi. Chodzi tu o równania typu: \(x-5=0\) czy też \(x^2-2x-5=0\). Są to stosunkowo proste równania, które bardzo dobrze omawialiśmy już sobie w poprzednich tematach, dlatego jeśli chcesz powtórzyć sobie ten materiał, to zapraszam Cię do następujących lekcji:
Równania trzeciego i wyższego stopnia – łatwe przypadki
Na tej lekcji najbardziej interesować nas będą przede wszystkim równania trzeciego i wyższego stopnia. Te proste równania typu \(x^3-8=0\) jesteśmy w stanie rozwiązywać niemalże w pamięci, przykładowo:
$$x^3-8=0 \\
x^3=8 \\
x=2$$
Bardzo prosta do rozwiązania jest także postać iloczynowa, do której często będziemy dążyć. Przykładowo możemy mieć takie oto równanie \((x-4)(x+5)(x^2-4)=0\). To jest przykład równania czwartego stopnia (gdybyśmy wymnożyli wszystkie nawiasy przez siebie, to otrzymalibyśmy \(x^4)\), które jest zapisane w postaci iloczynowej. Z takim równaniem także poradzimy sobie bez problemu, ponieważ wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-4=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x^2=4 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Równania trzeciego i wyższego stopnia – trudniejsze przypadki
Problem pojawia się, kiedy równania przybierają nieco bardziej rozbudowaną postać typu \(2x^3+4x^2-3x-6=0\) albo \(a^4+2a^2-5=0\) i to właśnie tego typu równania są istotą tematu zwanego „równania wielomianowe”. To są przykłady równań, których wcześniej nie omawialiśmy, a które jak się za chwilę okaże, będziemy w stanie rozwiązać stosując jedną z kilku metod.
Metody rozwiązywania równań wielomianowych
Od razu rozwiejmy wszelkie wątpliwości – nie damy rady rozwiązać każdego dowolnie wymyślonego równania wielomianowego. Nie mniej jednak na lekcjach matematyki (zwłaszcza na poziomie podstawowym) będziemy mierzyć się tylko z tymi przykładami, które możemy rozwiązać, stosując jedną z poniższych metod.
Metoda 1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias
Jednym z najpopularniejszych sposobów na rozwiązywanie równań wielomianowych jest wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, co doprowadzi nas do postaci iloczynowej, którą będziemy w stanie rozwiązać przyrównując odpowiednie wartości do zera.
Mamy równanie piątego stopnia, które na pierwszy rzut oka wygląda na bardzo trudne do rozwiązania. Moglibyśmy jednak tutaj zauważyć, że dalibyśmy radę wyłączyć tutaj wspólny czynnik przed nawias. Tym wspólnym czynnikiem będzie \(x^3\), ponieważ \(x^5=x^3\cdot x^2\) oraz \(3x^4=x^3\cdot3x\), a także \(-10x^3=x^3\cdot(-10)\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$x^5+3x^4-10x^3=0 \\
x^3\cdot(x^2+3x-10)=0$$
Powstała nam w ten sposób postać iloczynowa. Aby lewa strona równania była równa \(0\), to \(x^3=0\) albo \(x^2+3x-10=0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$x^3=0 \quad\lor\quad x^2+3x-10=0$$
Otrzymaliśmy w ten sposób dwa równania, które jesteśmy w stanie rozwiązać. Z równania \(x^3=0\) otrzymamy tylko jedno rozwiązanie, czyli \(x=0\). Musimy jeszcze sprawdzić jakie będą rozwiązania równania \(x^2+3x-10=0\). Jest to równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli skorzystamy tutaj z delty, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, czyli \(x=-5\) oraz \(x=2\). To oznacza, że nasze całe równanie piątego stopnia będzie mieć aż trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=-5\) oraz \(x=2\).
Od razu nasuwa się pytanie: czy moglibyśmy podzielić to równanie obustronnie przez \(x\) lub wręcz \(x^4\)? No właśnie nie bardzo, bo jeśli \(x\) jest równy \(0\) (a nie mamy wiedzy, że tak właśnie nie jest), to wykonamy dzielenie przez \(0\), które na matematyce nie istnieje. Co więc powinniśmy zrobić?
Zwróć uwagę, że to równanie nie ma po prawej stronie liczby \(0\), ale szybko możemy doprowadzić całość do pożądanej postaci, odejmując obustronnie \(5x^4\). Dzięki temu otrzymamy:
$$7x^5-5x^4=0$$
Teraz możemy wyłączyć wspólny czynnik \(x^4\) przed nawias, ponieważ \(7x^5=x^4\cdot7x\) oraz \(-5x^4=x^4\cdot(-5)\). W związku z tym:
$$x^4\cdot(7x-5)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, więc teraz musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera:
$$x^4=0 \quad\lor\quad 7x-5=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 7x=5 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{5}{7}$$
To równanie piątego stopnia ma więc dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=\frac{5}{7}\).
Metoda 2. Grupowanie wyrazów
Kolejną metodą jest tak zwane grupowanie wyrazów (najczęściej w pary). Obrazowo rzecz ujmując, dzięki tej metodzie będziemy wyłączać wspólne czynniki dla danego fragmentu wielomianu.
W przeciwieństwie do poprzednich przykładów, tutaj poszczególne jednomiany nie mają wspólnego czynnika. Jednak moglibyśmy pogrupować wyrazy w pary w taki sposób, by wyłączyć ten czynnik najpierw z pierwszej, a potem z drugiej pary. Pierwszą parę mogłyby utworzyć wyrazy \(5x^3\) oraz \(6x^2\), z których wyłączylibyśmy \(x^2\). Drugą parę tworzyłyby wyrazy \(10x\) oraz \(12\), z których wyłączylibyśmy liczbę \(2\). Powstanie nam taka oto sytuacja:
$$5x^3+6x^2+10x+12=0 \\
x^2\cdot(5x+6)+2\cdot(5x+6)=0$$
Otrzymaliśmy w nawiasach jednakowe wyrażenie i to jest klucz do sukcesu przy tej metodzie (jeśli w nawiasach nie mamy tego samego wyrażenia, to albo musimy wyłączyć inny czynnik, albo też po prostu metoda grupowania w danym przypadku nie zadziała). Co teraz? Obrazowo rzecz ujmując, jeśli teraz potraktujemy wyrażenie \(5x+6\) jako np. „jabłko” to mamy „\(x^2\) jabłek plus \(2\) jabłka, czyli \(x^2+2\) jabłka”. Zapisalibyśmy więc, że:
$$(x^2+2)\cdot(5x+6)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, więc przyrównujemy wyrażenia w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad 5x+6=0 \\
x^2=-2 \quad\lor\quad 5x=-6 \\
\text{brak rozw. } \quad\lor\quad x=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}$$
Z równania \(x^2=-2\) nie otrzymaliśmy rozwiązań, ponieważ nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. Okazuje się więc, że \(x=-1\frac{1}{5}\) jest jedynym dobrym rozwiązaniem tego równania.
Działamy bardzo podobnie jak w poprzednim przykładzie, z tym że tutaj musimy uważać na znaki. Pierwszą parę tworzyć będą wyrazy \(x^3\) oraz \(4x^2\) i tutaj wyłączymy przed nawias \(x^2\). Druga para to \(-5x\) oraz \(-20\) i tutaj damy radę wyłączyć przed nawias \(-5\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$x^3+4x^2-5x-20=0 \\
x^2\cdot(x+4)-5\cdot(x+4)=0 \\
(x^2-5)(x+4)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy nawiasy do zera:
$$x^2-5=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x^2=5 \quad\lor\quad x=-4 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-4$$
Tym razem otrzymaliśmy trzy rozwiązania naszego równania: \(x=\sqrt{5}\), \(x=-\sqrt{5}\) oraz \(x=-4\).
Metoda 3. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Może się okazać, że dane równanie damy radę przekształcić do postaci iloczynowej dzięki wzorom skróconego mnożenia. Chodzi tu przede wszystkim o wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), ale równie dobrze mogą to być wzory typu \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Przyrównując ten wzór do wyrażenia \(4x^4-25\) moglibyśmy zapisać, że w naszym przypadku \(a=2x^2\) oraz \(b=5\), ponieważ \(a^2=(2x^2)^2=4x^4\) oraz \(b^2=5^2=25\). Skoro tak, to:
$$4x^4-25=0 \\
(2x^2-5)(2x^2+5)=0$$
Otrzymaliśmy w ten sposób postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x^2-5=0 \quad\lor\quad 2x^2+5=0 \\
2x^2=5 \quad\lor\quad 2x^2=-5 \\
x^2=\frac{5}{2} \quad\lor\quad \text{brak rozw. } \\
x=\sqrt{\frac{5}{2}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{5}{2}} \quad\lor\quad \text{brak rozw. }$$
Z drugiego równania \(2x^2+5=0\) nie otrzymaliśmy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Całe to równanie wielomianowe będzie miało więc jedynie dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{5}{2}}\) oraz \(x=-\sqrt{\frac{5}{2}}\).
Tutaj mamy dość trudny przypadek, w którym trzeba zastosować najpierw wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, a potem wzór skróconego mnożenia. Wyłączając \(x^3\) przed nawias, otrzymamy:
$$x^7-16x^3=0 \\
x^3(x^4-16)=0$$
Wyrażenie \(x^4-16\) możemy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) rozbić na iloczyn \((x^2-4)(x^2+4)\), zatem:
$$x^3(x^2-4)(x^2+4)=0$$
I ponownie otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem przyrównując nawiasy do zera, otrzymamy:
$$x^3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad \text{brak rozw.}$$
Z tego równania siódmego stopnia otrzymaliśmy więc trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).
Metoda 4. Równania dwukwadratowe
Kiedy zawiodą poznane do tej pory metody, może się okazać, że kluczem do sukcesu będzie podstawienie pomocniczej niewiadomej \(t\), którą zastąpimy fragment naszego równania. Taki zabieg pozwoli nam przejść np. z równania czwartego stopnia na równania stopnia drugiego.
W takiej sytuacji moglibyśmy zauważyć, że \(x^4\) to nic innego jak \({(x^2)}^2\). Moglibyśmy więc zapisać, że nasze równanie przyjmuje postać:
$${(x^2)}^2-5x^2+6=0$$
Jest to więc idealna sytuacja, w której możemy skorzystać z pomocniczej niewiadomej \(t\). Gdybyśmy przyjęli, że \(t=x^2\) (przy czym \(t\) będzie większe od zera), to nasze równanie wyglądałoby następująco:
$$t^2-5t+6=0$$
Otrzymaliśmy w ten sposób standardowe równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$
Wyszło nam, że \(t=2\) lub też \(t=3\). I teraz uwaga, to nie jest jeszcze koniec rozwiązywania. Zapisaliśmy sobie, że \(t=x^2\), a więc moglibyśmy teraz zapisać, że:
$$x^2=2 \quad\lor\quad x^2=3 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}$$
W ten sposób wyszło nam, że nasze równanie ma aż cztery rozwiązania: \(x=\sqrt{2}\), \(x=-\sqrt{2}\), \(x=\sqrt{3}\) oraz \(x=-\sqrt{3}\).
Zazwyczaj jako \(t\) będziemy podstawiać właśnie \(x^2\), ale nic też nie stoi na przeszkodzie, by podstawić zmienną o wyższym wykładniku potęgi.
Tym razem moglibyśmy zapisać sobie, że \(t=x^4\) (tutaj też możemy dodać, że \(t\) powinno być większe od zera), co spowodowałoby, że otrzymamy takie oto równanie:
$$2t^2-t-1=0$$
Mamy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-3}{2\cdot2}=\frac{1-3}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+3}{2\cdot2}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1$$
Otrzymane wyniki oznaczają, że nasze \(t\) może być równe \(-\frac{1}{2}\) lub też \(1\). Ujemny wynik możemy od razu odrzucić ze względu na założenia, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do potęgi parzystej dałaby ujemny wynik. Zostaje nam więc \(t=1\), a skoro \(t=x^4\) to możemy zapisać, że:
$$x^4=1 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1$$
To równanie ósmego stopnia ma więc dwa rozwiązania: \(x=1\) oraz \(x=-1\).
Metoda 5. Podzielenie wielomianu przez dwumian
Wielomiany wysokiego stopnia możemy też przekształcać korzystając z umiejętności dzielenia wielomianu przez dwumian typu \(x-a\). Dzięki temu będziemy w stanie przedstawić wielomian w postaci iloczynowej, pozbywając się wysokiego stopnia wielomianu.
Jeśli nie pamiętasz jak dzielimy wielomian przez dwumian, to tutaj znajdziesz informacje na ten temat:
To zdecydowanie najtrudniejszy przykład z omawianych do tej pory. Aby móc go rozwiązać, musimy podzielić nasz wielomian przez dwumian typu \(x-a\). Aby tego dokonać, musimy „odgadnąć” wartość jednego z pierwiastków wielomianu \(2x^3-7x^2-20x+25\). Mówiąc wprost, musimy „odgadnąć” dla jakiej zmiennej \(x\) ten wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Kluczem do sukcesu jest pamiętanie o tym, że jeśli jest to liczba całkowita, to musi być ona dzielnikiem wyrazu wolnego. W naszym przypadku wyraz wolny jest równy \(25\), więc „odgadywanie” powinniśmy rozpocząć od liczb \(5\), \(-5\), \(1\) lub \(-1\). Obliczmy zatem najpierw \(W(5)\):
$$W(5)=2\cdot5^3-7\cdot5^2-20\cdot5+25=2\cdot125-7\cdot25-100+25= \\
=250-175-100+25=0$$
Otrzymany wynik równy \(0\) informuje nas, że \(5\) jest pierwiastkiem tego wielomianu i ta wiedza nam już w zupełności wystarczy. To z kolei oznacza, że zgodnie z twierdzeniem Bezouta, wielomian \(2x^3-7x^2-20x+25\) będzie podzielny przez \(x-5\).
Aby wykonać dzielenie wielomianów możemy skorzystać z metody pisemnej lub schematu Hornera. Wykorzystajmy może schemat Hornera, tworząc taką oto tabelkę:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\; & 2 & -7 & -20 & 25 \\
\hline
5 & 2 & \; & \; & \; \\
\hline
\end{array}$$
Liczby w górnym wierszu to współczynniki wielomianu \(2x^3-7x^2-20x+25\). W lewym dolnym rogu mamy \(5\), bo właśnie piątka jest jednym z pierwiastków tego wielomianu, a liczbę \(2\) przepisaliśmy z górnego wiersza. Teraz musimy uzupełnić dolny wiersz tabeli, wykonując następujące działania:
\(5\cdot2+(-7)=10-7=3 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-7\) wpisujemy \(3\)
\(5\cdot3+(-20)=15-20=-5 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-20\) wpisujemy \(-5\)
\(5\cdot(-5)+25=25-25=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(25\) wpisujemy \(0\)
Tabelka wygląda więc następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\; & 2 & -7 & -20 & 25 \\
\hline
5 & 2 & 3 & -5 & 0 \\
\hline
\end{array}$$
To oznacza, że wynikiem dzielenia wielomianu \(2x^3-7x^2-20x+25\) przez dwumian \(x-5\) jest \(2x^2+3x-5\). W takim razie możemy stwierdzić, że równanie z treści zadania da się zapisać w postaci:
$$(x-5)(2x^2+3x-5)=0$$
Dzięki temu dzieleniu zapisaliśmy równanie w postaci iloczynowej, więc teraz musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-5=0 \quad\lor\quad 2x^2+3x-5=0$$
Z pierwszego równania otrzymamy \(x=5\). Musimy jeszcze rozwiązać równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot2}=\frac{-10}{4}=-2\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1$$
To oznacza, że całe nasze równanie będzie mieć trzy rozwiązania: \(x=5\), \(x=-2\frac{1}{2}\) oraz \(x=1\).
Zobacz także sprawdzian na ten temat: