Równania i nierówności liniowe – zadania maturalne

B

Krok 1. Pozbycie się ułamków i rozwiązanie nierówności.
Przy równościach i nierównościach w których dominują ułamki dobrze jest na samym początku pomnożyć obie strony przez taką liczbę, aby pozbyć się wszystkich ułamków. W naszym przypadku taką liczbą będzie \(24\), bo jest to najmniejsza wspólna wielokrotność \(6,8,12\). Jak już to zrobimy, to bez przeszkód obliczymy naszą nierówność:

$$\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\
9+4x\lt10x \\
9\lt6x \\
x\gt\frac{9}{6} \\
x\gt\frac{3}{2}$$

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\frac{3}{2}\). To oznacza, że najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \(2\).

A

Krok 1. Wymnożenie wszystkich wyrazów przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia i rozwiązanie nierówności.
Po lewej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Po prawej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Zatem:
$$(4+x)^2\lt(x-4)(x+4) \\
4^2+2\cdot4\cdot x+x^2\lt x^2-4^2 \\
16+8x+x^2\lt x^2-16 \\
16+8x\lt-16 \\
8x\lt-32 \\
x\lt-4$$

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Rozwiązaniem naszego równania jest przedział \(x\in(-\infty;-4)\). Musimy teraz sobie odpowiedzieć na pytanie jaka jest największa liczba całkowita, która mieści się w tym przedziale. Nie może to być \(-4\), bo ta liczba nie mieści się w naszym przedziale (nawias jest otwarty). Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest więc \(-5\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

A

Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność:
$$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \\
4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$

Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).

C

Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność:
$$2(x-2)\le4(x-1)+1 \\
2x-4\le4x-4+1 \\
2x-4\le4x-3 \\
-2x-4\le-3 \\
-2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \\
x\ge-\frac{1}{2}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną.

Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-\frac{1}{2}\). Tą liczbą będzie oczywiście \(0\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

B

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tej nierówności. Aby uprościć sobie obliczenia wymnóżmy na początku obie strony przez \(30\), pozbywając się tym samym wszystkich ułamków:
$$\frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge\frac{x}{6} \quad\bigg/\cdot30 \\
18-20x\ge5x \\
18-25x\ge0 \\
-25x\ge-18 \quad\bigg/:(-25) \\
x\le\frac{18}{25}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce. Wynika ona z tego, że dzieliliśmy nierówność przez liczbę ujemną.

Otrzymany wynik możemy zapisać w formie przedziału:
$$x\in(-\infty;\frac{18}{25}\rangle$$

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początku musimy rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, a więc:
$$\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt0 \quad\bigg/-\sqrt{7} \\
\frac{x}{5}\gt-\sqrt{7} \quad\bigg/\cdot5 \\
x\gt-5\sqrt{7}$$

Krok 2. Zaokrąglenie wyniku i wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Na kalkulatorze możemy obliczyć, że \(-5\sqrt{7}\approx-13,23\). Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa od \(-13,23\). Taką liczbą jest oczywiście \(-13\), tak więc prawidłowa była druga odpowiedź.

B

Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następującą równość:
$$(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+4+5 \\
2a+2b+2c=12 \\
2\cdot(a+b+c)=12 \\
a+b+c=6$$