Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2015 (stara matura)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(8x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-3\). To oznacza, że:
$$8x^3+8x^2-3x-3=0 \\
8x^2(x+1)+(-3)(x+1) \\
8x^2(x+1)-3(x+1) \\
(8x^2-3)(x+1)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$8x^2-3=0 \quad\quad\lor\quad\quad x+1=0$$

Rozwiążmy najpierw to pierwsze równanie. Możemy oczywiście tutaj zastosować metodę liczenia delty, ale możemy też zrobić to w następujący sposób:
$$8x^2-3=0 \\
8x^2=3 \\
x^2=\frac{3}{8} \\
x=\sqrt{\frac{3}{8}} \quad\lor\quad x=-\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Tutaj moglibyśmy się jeszcze pokusić o usunięcie niewymierności z mianownika (choć nie jest to konieczne):
$$\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\cdot2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Jeżeli więc usuniemy tę niewymierność z mianownika to otrzymamy:
$$x=\frac{\sqrt{6}}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Przejdźmy do rozwiązania drugiego równania, tutaj będzie znacznie prościej:
$$x+1=0 \\
x=-1$$

To oznacza, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-\sqrt{\frac{3}{8}} \lor x=-1\).
Ewentualnie zapisując to inaczej: \(x=\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-\frac{\sqrt{6}}{4} \lor x=-1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Miejsca zerowe możemy tradycyjnie wyznaczyć metodą delty (pamiętając o tym, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale można tutaj pokusić się o nieco prostsze i szybsze wyznaczenie miejsc zerowych.
$$5x^2-45=0 \\
5x^2=45 \quad\bigg/:5 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=5\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-3\) oraz \(x=3\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\langle-3;3\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb dwucyfrowych. Skoro liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowana liczba jest podzielna przez \(9\) lub \(12\). Wypiszmy sobie zatem te liczby (uważając na to, by żadnej z liczb nie wypisać dwukrotnie):
$$18,27,36,45,54,63,72,81,90,99 \\
12,24,48,60,84,96$$

Takich liczb jest \(16\), zatem \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}\) albo innej podobnej.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą rysunku trójkąta prostokątnego zapiszesz, że \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{c^2}{ab}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość jedną z wartości: \(sinα=\sqrt{\frac{7+\sqrt{33}}{14}}\) lub \(cosα=\frac{4}{\sqrt{98+14\sqrt{33}}}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\
tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:
$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\
sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz nierówność w postaci \((x-y)(x^2-y^2)\ge0\) lub \((x-y)(x^2-2xy+y^2)\ge0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2 \\
x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$

Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0 \\
(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$

Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni. Mamy więc iloczyn dwóch liczb dodatnich, a ten jest na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pola "małych trójkątów" w zależności od długości \(a\) oraz \(b\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz, że pole trójkąta \(APR\) jest stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy obliczysz, że suma pól \(P_{ADR}+P_{PCR}\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola prostokąta.
ALBO
• Gdy przedłużysz prostą \(AR\) oraz bok \(BC\), zaznaczysz punkt przecięcia się tych prostych np. jako \(M\) i zauważysz, że \(P_{APR}=P_{RPM}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:



Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).
$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\
P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\
P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).
Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\
P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\
P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\
P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:
$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz minimum cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, które potem wykorzystasz do zbudowania ciągu geometrycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągów arytmetycznych ułożysz odpowiednie równanie (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z własności ciągów geometrycznych ułożysz równanie w postaci \((2+r)^2=2\cdot(2+3r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=0\) oraz \(r=2\) i odrzucisz \(r=0\) ze względu na założenia z treści zadania (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco:
$$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$

Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy:
$$(2+r)^2=2\cdot(2+3r) \\
4+4r+r^2=4+6r \\
r^2-2r=0 \\
r(r-2)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-2=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=2$$

Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\).

Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Nasz ciąg geometryczny ma postać:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco:
$$2,\;4,\;8$$

Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{4}{2} \\
q=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości dwóch boków trójkąta (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy napiszesz, że poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy uzasadnisz (wskazując, że jest to trójkąt równoramienny), dlaczego poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie osi symetrii w postaci prostej przechodzącej przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz wyznaczysz współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka \(AC\), czyli \(a=-3\).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz zapiszesz, że poszukiwana oś symetrii przechodzi przez punkt \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:



Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \(B\)? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona \(AB\) oraz \(BC\), a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek \(B\). Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\), bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu \(D\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są \(D=(4;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu \(D\) znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\
(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\
-2y-4-6x+36=0 \\
-2y-6x+32=0 \\
-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\
y=-3x+16$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnie zaznaczonym kątem (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(h=a\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie zależności między krawędzią podstawy i wysokością trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \\
\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \quad\bigg/\cdot h \\
\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}a \\
h=a$$

To oznacza, że wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej.
Korzystając z informacji, że pole ściany bocznej jest równe \(10\) możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
10=\frac{1}{2}a\cdot a \quad\bigg/\cdot2 \\
a^2=20 \\
a=\sqrt{20} \quad\lor\quad a=-\sqrt{20}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{20}\). Tym samym zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, także \(h=\sqrt{20}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Tutaj także skorzystamy z funkcji trygonometrycznych (tym razem z sinusa). Skoro odcinek \(SE\) (czyli wysokość ściany bocznej oznaczonej jako \(h\)) ma długość \(h=\sqrt{20}\), to:
$$sinα=\frac{H}{h} \\
sin60°=\frac{H}{\sqrt{20}} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{\sqrt{20}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{20} \\
H=\frac{\sqrt{60}}{2} \\
H=\frac{\sqrt{4\cdot15}}{2} \\
H=\frac{2\sqrt{15}}{2} \\
H=\sqrt{15}$$

Krok 5. Obliczenie objętości bryły.
Znając długość krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{20})^2\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{1}{3}\cdot20\cdot\sqrt{15} \\
V=\frac{20\sqrt{15}}{3}$$