Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(3tgα=2\). Wtedy wartość wyrażenia \(sinα+cosα\) jest równa:
Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
$$3tgα=2 \\
tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα=\frac{2}{3}cosα$$
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \\
4cos^2α+9cos^2α=9 \\
13cos^2α=9 \\
cos^2α=\frac{9}{13} \\
cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \\
cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$
Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$
$$\require{cancel}
sinα=\frac{2}{3}cosα \\
sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \\
sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$
C. \(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)
