Matura próbna – Matematyka – Operon 2022

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci iloczynowej w której pojawi się wykładnik drugiego stopnia np. \(k\cdot(k+2)\cdot(k^2-1)\).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci iloczynowej w której nie będzie liczb podniesionych do kwadratu np. \(k(k-1)(k+1)(k+2)\).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyłączając wspólny czynnik \(k\) przed nawias, otrzymamy:
$$k^4+2k^3-k^2-2k=k\cdot(k^3+2k^2-k-2)$$

Spójrzmy teraz na wyrażenie w nawiasie. Możemy tam zastosować tak zwaną metodę grupowania wyrazów, co pozwoli nam rozpisać to wyrażenie z nawiasu jako:
$$k^3+2k^2-k-2= \\
=k^2(k+2)-1(k+2)= \\
=(k^2-1)(k+2)$$

Wracając zatem do postaci \(k\cdot(k^3+2k^2-k-2)\) i podstawiając do niej to, co rozpisaliśmy przed chwilą, mamy już zapis:
$$k\cdot(k^2-1)(k+2)$$

Teraz moglibyśmy dostrzec, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)\) damy radę rozpisać \(k^2-1\) jako \((k-1)\cdot(k+1)\). Mamy więc już postać:
$$k\cdot(k-1)\cdot(k+1)\cdot(k+2) \\
(k-1)\cdot k\cdot(k+1)\cdot(k+2)$$

W ten sposób otrzymaliśmy tak naprawdę iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\) oraz \(k+2\). Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest na pewno podzielny przez \(4\). Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych będzie za to podzielny przez \(3\). Ta liczba jest więc jednocześnie podzielna przez \(4\) i \(3\), czyli tym samym będzie podzielna przez iloczyn \(4\cdot3\), czyli przez \(12\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 1. oraz 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz czas wędrówki w obu wariantach (patrz: Krok 3. oraz 4.), ale nie podasz go w minutach.
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz czas wędrówki w jednym z wariantów (patrz: Krok 3. oraz 4.) i podasz ten czas w minutach.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Chcąc obliczyć długość drogi z punktu \(A\) do \(B\), musimy obliczyć współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\). I tu ważna uwaga - moglibyśmy w sumie odczytać te punkty z wykresu, choć prawdę mówiąc nie ma za bardzo pewności, czy np. punkt \(B\) faktycznie ma współrzędne \((3;0)\), bo równie dobrze mogłyby tam się pojawiać jakieś ułamkowe wartości. Z tego też względu dobrze byłoby te współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) po prostu wyliczyć.

Współrzędne punktu \(A\) są akurat proste do wyliczenia, bo wystarczy sprawdzić jaka jest wartość funkcji \(f(x)=-x^2+2x+3\) dla argumentu \(x=0\), zatem:
$$f(0)=-0^2+2\cdot0+3 \\
f(0)=3$$

To oznacza, że \(A=(0;3)\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) jest nieco trudniejszy do wyznaczenia, ponieważ tutaj musimy sprawdzić kiedy funkcja \(f(x)=-x^2+2x+3\) przyjmie wartość równą \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$-x^2+2x+3=0$$

Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=4-(-12)=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$$

Nas interesuje dodatnie miejsce zerowe, czyli \(x=3\), zatem wiemy już, że \(B=(3;0)\).

Krok 3. Obliczenie długości i czasu pokonania trasy \(AB\) (po skosie).
Z tego co wyliczyliśmy do tej pory wynika, że od punktu \(A\) do \(C\) mamy \(3\) jednostki i tak samo od punktu \(C\) do \(B\) mamy \(3\) jednostki. To oznacza, że długość odcinka \(AC\) w terenie to \(3km\) i tak samo \(CB\) to także \(3km\).

Skoro tak, to trasa \(AB\) liczona po skosie (czyli przez łąkę) jest niczym innym jak przekątną kwadratu o boku \(3\):


Kwadrat o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długość \(a\sqrt{2}\), stąd też \(|AB|=3\sqrt{2}\). Teraz musimy obliczyć ile czasu potrwa pokonanie tej trasy. Z pomocą przyjdzie nam wzór na prędkość, czyli:
$$v=\frac{s}{t} \\
t=\frac{s}{v}$$

Wiemy już, że ta trasa ma długość \(s=3\sqrt{2}km\), a skoro poruszamy się z prędkością \(v=3\frac{km}{h}\), to czas pokonania trasy wyniesie:
$$t=\frac{3\sqrt{2}km}{3\frac{km}{h}} \\
t=\sqrt{2}h \\
t\approx1,41\cdot60min \\
t\approx84,6min\approx85min$$

Krok 4. Obliczenie długości i czasu pokonania trasy \(AB\) (przez punkt \(C\)).
Długość odcinka \(AC\) (po łące) to \(3km\) i tak samo \(CB\) (po szosie) też jest to \(3km\). Po łące poruszamy się z prędkością \(v=3\frac{km}{h}\), natomiast po szosie \(v=5\frac{km}{h}\), zatem czas pokonania tych tras policzymy sobie oddzielnie.

Po łące \(AC\):
$$t=\frac{3km}{3\frac{km}{h}} \\
t=1h=60min$$

Po szosie \(CB\):
$$t=\frac{3km}{5\frac{km}{h}} \\
t=0,6h \\
t=0,6\cdot60min \\
t=36min$$

Łącznie czas pokonania tej trasy wyniesie: \(60min+36min=96min\)

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że długości poszczególnych odcinków będą tworzyły ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=16\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) (ponieważ każdy kolejny wyraz jest dwa razy mniejszy od poprzedniego). Dodatkowo wiemy, że suma wszystkich odcinków jest równa \(31\), czyli moglibyśmy też dodać, że \(S_{n}=31\).

Krok 2. Obliczenie liczby odcinków.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Jedyną niewiadomą w tym ciągu jest \(n\), czyli tak naprawdę liczba odcinków naszej łamanej. Podstawiając wszystkie znane dane, otrzymamy:
$$31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} \\
31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
\frac{31}{2}=16\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \quad\bigg/:16 \\
\frac{31}{32}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
-\frac{1}{32}=-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{32} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\
n=5$$

Wyszło nam, że ten ciąg ma \(5\) wyrazów, czyli tym samym nasza łamana składa się z \(5\) odcinków.

Krok 3. Obliczenie sumy długości nowej łamanej.
Nowa łamana ma mieć zgodnie z treścią dwa razy więcej odcinków, czyli \(n=2\cdot5=10\). Chcemy obliczyć długość ten nowej łamanej, czyli musimy wyznaczyć teraz \(S_{10}\). Podstawiając zatem dane do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, otrzymamy:
$$S_{10}=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{1023}{32}=31\frac{31}{32}$$

Krok 4. Obliczenie o ile procent wzrosłaby suma długości odcinków łamanej.
Bazując na obliczeniu \(S_{5}\) oraz \(S_{10}\) możemy stwierdzić, że długość łamanej wzrosłaby o:
$$S_{10}-S_{5}=31\frac{31}{32}-31 \\
S_{10}-S_{5}=\frac{31}{32}$$

Celem zadania jest podanie wzrostu wyrażonego w procentach, zatem skoro łamana o długości \(31\) wzrosłaby o \(\frac{31}{32}\), to procentowo ten wzrost by wyniósł:
$$\frac{\frac{31}{32}}{31}=\frac{31}{32}:31=\frac{31}{32}\cdot\frac{1}{31}= \\
=\frac{1}{32}=0,03125=3,125\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i podstawisz do niego dane z treści zadania (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę odcinków łamanej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz sumę długości odcinków nowej łamanej (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz sumę długości odcinków od szóstego do dziesiątego (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności środkowych trójkąta równoramiennego wynika, że odcinek \(PC\) jest dwa razy dłuższy od odcinka \(PC_{1}\). Z treści zadania wynika, że \(PC_{1}=2cm\), zatem \(PC\) będzie miał długość \(2\cdot2cm=4cm\). Tym samym cały odcinek \(CC'\), który jest jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego, będzie miał długość:
$$h=2cm+4cm=6cm$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Znamy długość podstawy oraz wysokość trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot6 \\
P_{ABC}=8\cdot6 \\
P_{ABC}=48[cm^2]$$

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Kluczem do obliczenia pola trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest dostrzeżenie, że jest to trójkąt podobny do trójkąta \(ABC\). Skąd to wiemy? Jeśli punkty \(A_{1}\) oraz \(B_{1}\) są środkami ramion trójkąta, to odcinek \(A_{1}B_{1}\) jest równoległy do podstawy \(AB\), a miara tego odcinka jest dwa razy krótsza od boku \(AB\). Analogicznie będzie z parą \(A_{1}C_{1}\) czy też \(B_{1}C_{1}\) - one też są równoległe i dwa razy mniejsze względem odpowiadających boków. To prowadzi nas do wniosku, że trójkąt \(A_{1}B_{1}C_{1}\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali \(k=\frac{1}{2}\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(A_{1}B_{1}C_{1}\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że jeśli trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to jego pole powierzchni będzie \(k^2\) razy większe. Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=k^2\cdot P_{ABC} \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{4}\cdot48 \\
P_{A_{1}B_{1}C_{1}}=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z twierdzenia cosinusów i zapiszesz odpowiednie równanie w którym jedyną niewiadomą jest cosinus poszukiwanego kąta (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, to dobrze byłoby zacząć od prostego szkicu całej sytuacji:


Miarę kąta \(ABC\) będziemy mogli obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusów, czyli:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma$$

I tu najważniejsza sprawa - jak to zawsze ma miejsce przy twierdzeniu cosinusów, bok leżący naprzeciwko kąta \(ABC\) musimy oznaczyć jako \(c\) (czyli tak jak na rysunku).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AC\).
Aby skorzystać z twierdzenia cosinusów musimy wyznaczyć jeszcze długość boku \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, czyli:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do wzoru znane współrzędne \(A=(2,2\sqrt{3})\) oraz \(C=(9,3\sqrt{3})\), otrzymamy:
$$|AC|=\sqrt{(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2+(9-2)^2} \\
|AC|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+7^2} \\
|AC|=\sqrt{3+49} \\
|AC|=\sqrt{52}$$

Oczywiście można byłoby jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, otrzymując postać \(|AC|=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\), ale prawdę mówiąc nie ma tu takiej potrzeby, bo za chwilę i tak będziemy całość podnosić do kwadratu i postać \(\sqrt{52}\) będzie nawet wygodniejsza.

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ABC\).
Znamy już wszystkie długości boków trójkąta, zatem możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$(\sqrt{52})^2=4^2+(6\sqrt{3})^2-2\cdot4\cdot6\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
52=16+108-48\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
-72=-48\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
cos\gamma=\frac{-72}{-48\sqrt{3}} \\
cos\gamma=\frac{3}{2\sqrt{3}}$$

Otrzymaliśmy już poprawny wynik, ale takiej wartości jak \(\frac{3}{2\sqrt{3}}\) nie znajdziemy w tablicach. Wszystko dlatego, że należałoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych (z tzw. małej tabelki) odczytujemy, że \(cos\) przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\), stąd też \(|\sphericalangle ABC|=30°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Ustaliliśmy już, że mamy \(600\) uczniów. Najpierw losujemy więc jednego z tych \(600\) uczniów, a potem drugiego z \(599\), którzy zostali. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych mamy \(|Ω|=600\cdot599=359400\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której będziemy mieć choćby jednego ucznia w wieku przynajmniej \(18\) lat (czyli przynajmniej jednego ucznia, który ma \(18\) lub \(19\) lat). Czyli tak przykładowo pasuje nam wylosowanie \(18\)-latka oraz \(16\)-latka, albo chociażby wylosowanie dwóch \(19\)-latków.

Do wyznaczenia liczby zdarzeń sprzyjających możemy podejść na dwa sposoby. Moglibyśmy zgodnie z regułą dodawania sumować wszystkie zdarzenia sprzyjające (a tych jest sporo, bo np. mamy \(138\cdot66\) możliwości wylosowania \(18\)-latka i \(16\)-latka, do tego \(138\cdot180\) możliwości wylosowania \(18\)-latka i \(17\)-latka itd.). Można też postąpić nieco sprytniej i sprawdzić, ile jest zdarzeń niesprzyjających, co będzie znacznie prostsze. Zdarzeniem niesprzyjającym jest wylosowanie jednocześnie dwóch osób w wieku \(16-17\) lat. Uczniów w tym przedziale wiekowym mamy łącznie \(66+180=246\). Jeśli więc wylosujemy jedną z tych \(246\) osób, a potem jedną z pozostałych \(245\), to będzie to zdarzenie niesprzyjające. Zgodnie więc z regułą mnożenia takich zdarzeń będziemy mieć:
$$|A'|=246\cdot245=60270$$

Skoro więc wszystkich zdarzeń mamy \(359400\), a tych niesprzyjających jest \(60270\), to sprzyjających zdarzeń mamy:
$$|A|=359400-60270=299130$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{299130}{359400}\approx0,83$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na objętość z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że obwód prostokąta znajdującego się w podstawie jest równy \(24cm\). Jeśli więc oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\), to otrzymamy równanie:
$$2\cdot(x+y)=24 \\
x+y=12 \\
y=12-x$$

Chcemy obliczyć objętość naszej bryły i wiemy, że \(H=10\), zatem drugim równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$V=x\cdot y\cdot10$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(V(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną. Chcąc tego dokonać, możemy podstawić wyznaczoną wartość \(y=12-x\) do równania \(V=x\cdot y\cdot10\), otrzymując:
$$V=x\cdot(12-x)\cdot10 \\
V=(12x-x^2)\cdot10 \\
V=120x-10x^2 \\
V=-10x^2+120x$$

Otrzymaliśmy informację, że objętość można opisać wzorem \(-10x^2+120x\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(V\)). Zapisalibyśmy więc, że \(V(x)=-10x^2+120x\). Warto też dodać, że skoro \(y=12-x\), a długość boków \(x\) oraz \(y\) musi być dodatnia, to dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;12)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-10\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Musimy teraz dowiedzieć się, dla jakiego \(x\) objętość \(V\) będzie największa. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej. W przypadku funkcji \(V(x)=-10x^2+120x\) widzimy, że współczynnik \(a=-10\) oraz \(b=120\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-120}{2\cdot(-10)} \\
x_{W}=\frac{-120}{-20} \\
x_{W}=6$$

To oznacza, że największą objętość osiągniemy, gdy długość boku \(x\) będzie równa \(6\).

Krok 4. Obliczenie objętości.
Celem zadania obliczenie objętości tego prostopadłościanu. Korzystając z wcześniej wyznaczonego wzoru \(V=-10x^2+120x\) i podstawiając do niego \(x=6\), otrzymamy:
$$V=-10\cdot6^2+120\cdot6 \\
V=-10\cdot36+720 \\
V=-360+720 \\
V=360[cm^3]$$