Równania - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 1. (1pkt) Hania, płacąc w sklepie za trzy tabliczki czekolady, podała kasjerce \(15zł\) i otrzymała \(0,60zł\) reszty. Które z równań odpowiada treści zadania, jeśli cenę tabliczki czekolady oznaczymy przez \(x\)?
A) \(3x+0,6=15\)
B) \(3x+15=0,6\)
C) \(0,6x+3=15\)
D) \(15x+0,6=3\)
Wyjaśnienie:
Hania kupiła \(3\) tabliczki, każda kosztuje \(x\), zatem za czekolady zapłaciła \(3x\). Z treści zadania wynika, że \(3x\) plus reszta \(0,6zł\) ma nam dać kwotę \(15zł\), zatem prawidłowym równaniem będzie:
$$3x+0,6=15$$
Zadanie 4. (1pkt) Sprzedawca kupił od ogrodnika róże i tulipany za łączną kwotę \(580zł\). Jeden tulipan kosztował \(1,20zł\), a cena jednej róży była równa \(4zł\). Sprzedawca kupił o \(50\) tulipanów więcej niż róż. Jeśli liczbę zakupionych tulipanów oznaczymy przez \(t\), to podane zależności opisuje równanie:
A) \(1,2(t+50)+4t=580\)
B) \(1,2(t-50)+4t=580\)
C) \(1,2t+4(t-50)=580\)
D) \(1,2t+4(t+50)=580\)
Wyjaśnienie:
Przeanalizujmy treść zadania. Wiemy, że jeden tulipan kosztuje \(1,2zł\). Skoro więc sprzedawca kupił \(t\) tulipanów, to zapłacił za nie \(1,2\cdot t\) złotych. Teraz spójrzmy na róże. Jedna róża kosztuje \(4zł\), a sprzedawca kupił tych róż o \(50\) mniej niż tulipanów (bo z treści zadania wynika, że tulipanów jest o \(50\) więcej niż róż). Można więc powiedzieć, że sprzedawca kupił \(t-50\) róż, czyli zapłacił za nie \(4\cdot(t-50)\). Teraz wydatki na tulipany i róże musimy zsumować i wiemy, że ta suma jest równa \(580zł\), stąd też otrzymamy równanie \(1,2t+4(t-50)=580\).
Zadanie 7. (2pkt) Obserwując zużycie benzyny w swoim samochodzie, pan Nowak stwierdził, że jeżeli wystartuje z pełnym bakiem i będzie jechał po autostradzie ze stałą prędkością, to zależność liczby litrów benzyny w baku \((y)\) od liczby przejechanych kilometrów \((x)\) wyraża się wzorem: \(y=-0,05x+45\).
Ile benzyny zostanie w baku po przejechaniu \(200km\)?
Odpowiedź
W baku zostanie \(35\) litrów benzyny.
Wyjaśnienie:
Aby obliczyć ile benzyny zostanie w baku po przejechaniu \(200km\) musimy zgodnie z informacjami podanymi w treści zadania podstawić do wskazanego wzoru \(x=200\). Zatem:
$$y=-0,05x+45 \\
y=-0,05\cdot200+45 \\
y=-10+45=35$$
To oznacza, że w baku zostanie \(35\) litrów benzyny.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(x=200\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 10. (3pkt) Marcin przebywa autobusem \(\frac{3}{4}\) drogi do jeziora, a pozostałą część piechotą. Oblicz odległość między domem Marcina, a jeziorem, jeżeli trasa, którą przebywa pieszo, jest o \(8km\) krótsza niż trasa, którą przebywa autobusem.
Odpowiedź
Odległość między domem i jeziorem wynosi \(16km\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - poszukiwana odległość między domem Marcina i jeziorem
\(\frac{3}{4}x\) - odległość pokonana autobusem
\(\frac{1}{4}x\) - odległość pokonana pieszo
Trasa pokonana pieszo jest o \(8km\) krótsza od trasy pokonanej autobusem, zatem:
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Musimy teraz rozwiązać zapisane powyżej równanie, a otrzymana wartość \(x\) będzie poszukiwaną odległością. Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, mnożąc obydwie strony równania przez \(4\):
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x \quad\bigg/\cdot4 \\
3x-32=x \\
2x=32 \\
x=16[km]$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że droga pokonana pieszo stanowi \(\frac{1}{4}x\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie (np. \(\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x\)) pozwalające obliczyć niewiadomą \(x\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 12. (1pkt) Grupa turystów w ciągu pierwszej godziny marszu pokonała pewien odcinek trasy. W każdej następnej godzinie pokonywany dystans był o \(0,5km\) krótszy od dystansu pokonanego w poprzedniej godzinie. W ciągu pierwszych pięciu godzin marszu turyści przeszli łącznie \(17,5km\) trasy. Odcinek trasy, który turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu, miał długość:
A) 3,1km
B) 3,5km
C) 3,9km
D) 4,0km
E) 4,5km
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$
Zadanie 13. (2pkt) W domu kultury zorganizowano konkurs recytatorski. Dla uczestników kupiono nagrody: książki i e-booki. Książki stanowiły \(\frac{2}{3}\) liczby kupionych nagród. E-booków było o \(8\) mniej niż książek. Ile kupiono książek?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Na podstawie danych z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - wszystkie nagrody
\(\frac{2}{3}x\) - książki
\(\frac{2}{3}x-8\) - ebooki
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma książek oraz ebooków musi być równa liczbie wszystkich nagród, zatem otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{2}{3}x+\left(\frac{2}{3}x-8\right)=x \\
\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x-8=x \\
\frac{4}{3}x-8=x \quad\bigg/-x \\
\frac{4}{3}x-x-8=0 \quad\bigg/+8 \\
\frac{4}{3}x-x=8 \\
\frac{1}{3}x=8 \\
x=24$$
Krok 3. Obliczenie liczby książek.
To jeszcze nie jest koniec zadania! Wyszło nam, że \(x=24\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami \(x\) to jest liczba wszystkich nagród. Książek mamy \(\frac{2}{3}x\), zatem:
$$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\cdot24=16$$
To oznacza, że było \(16\) książek.
Zadanie 14. (3pkt) Do pracowni komputerowej kupiono \(6\) myszek bezprzewodowych i \(6\) myszek przewodowych. Cena myszki bezprzewodowej była o \(11 zł\) wyższa od ceny myszki z przewodem. Za zakup wszystkich myszek zapłacono \(234 zł\). Ile najwięcej myszek bezprzewodowych można by kupić za tę kwotę? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena myszki przewodowej
\(x+11\) - cena muszki bezprzewodowej
Krok 2. Obliczenie ceny myszki bezprzewodowej.
Zakupiono \(6\) myszek bezprzewodowych i \(6\) myszek przewodowych i wydano na nie \(234zł\). Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$6\cdot x+6\cdot(x+11)=234 \\
6x+6x+66=234 \\
12x=168 \\
x=14$$
Wiemy więc, że myszka przewodowa kosztuje \(14zł\), czyli tym samym myszka bezprzewodowa kosztuje \(14zł+11zł=25zł\).
Krok 3. Ustalenie, ile myszek bezprzewodowych można zakupić.
Celem naszego zadania jest obliczenia jaka jest maksymalna liczba myszek bezprzewodowych, które można zakupić za podaną kwotę. Skoro mamy do wydania \(234zł\), a myszka bezprzewodowa kosztuje \(25zł\), to takich myszek możemy zakupić:
$$234:25=9,36\approx9$$
To oznacza, że można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia ceny myszki bezprzewodowej lub przewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz łączny koszt zakupu myszki bezprzewodowej i przewodowej.
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę myszki bezprzewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia liczby myszek bezprzewodowych, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 15. (2pkt) Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było \(2\) razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała \(4zł\), a cena jednego goździka wynosiła \(3zł\). Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować \(35zł\)? Uzasadnij odpowiedź.
Odpowiedź
Kwiaty nie mogły kosztować \(35zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba róż w bukiecie
\(2x\) - liczba goździków w bukiecie
Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania.
Wiemy, że w bukiecie jest \(x\) róż, każda kosztuje \(4zł\). Wiemy też, że w bukiecie mamy \(2x\) goździków, z czego każdy kosztuje \(3zł\). Skoro cały bukiet kosztował \(35zł\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$4\cdot x+3\cdot2x=35 \\
4x+6x=35 \\
10x=35 \\
x=3,5$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że aby bukiet kosztował zgodnie z założeniami \(35zł\), to w bukiecie powinno znaleźć się \(3,5\) róży. Otrzymanie wyniku niecałkowitego sprawia, że taki bukiet nie mógł kosztować \(35zł\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy cenę bukietu opiszesz wyrażeniem algebraicznym z jedną niewiadomą, ale nie ułożysz z niego równania np. napiszesz, że bukiet kosztuje \(4\cdot x+3\cdot2x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 16. (4pkt) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić \(8zł\) za \(3\) dni i dodatkowo po \(2,50zł\) za każdy kolejny dzień wypożyczenia. Natomiast w wypożyczalni Planszówka płaci się \(12zł\) za \(3\) dni i po \(2zł\) za każdy kolejny dzień. Przy jakiej liczbie dni koszty wypożyczenia tej gry w jednej i drugiej wypożyczalni są jednakowe?
Odpowiedź
Koszt wypożyczenia tej gry w obu wypożyczalniach jest jednakowy przy wypożyczeniu gry na \(11\) dni.
Wyjaśnienie:
Możemy dojść do rozwiązania obliczając koszty wypożyczenia dla każdego poszczególnego dnia, natomiast najlepiej jest rozwiązać to zadanie układając proste równanie.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - liczba dni powyżej trzeciego dnia
\(8+2,5x\) - łączna kwota za wypożyczenie gry w Gierce
\(12+2x\) - łączna kwota za wypożyczenie gry w Planszówce
Naszym zadaniem jest sprawdzenie kiedy koszt wypożyczenia gry będzie jednakowy, czyli kiedy wartości \(8+2,5x\) oraz \(12+2x\) się zrównają, czyli kiedy:
$$8+2,5x=12+2x$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
$$8+2,5x=12+2x \\
0,5x=4 \\
x=8$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Patrząc się na oznaczenia nasz \(x\) oznacza, że koszty wypożyczenia zrównają się po ośmiu dniach powyżej trzeciego dnia, czyli będzie to dzień jedenasty.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę w opłacie stałej (\(4zł\)) oraz różnicę w kosztach wypożyczenia gry za każdy dzień powyżej trzeciego (\(0,5zł\)).
LUB
• Gdy zapiszesz w postaci wyrażenia algebraicznego kwotę za wypożyczenie gry w jednej z wypożyczalni (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz w postaci wyrażenia algebraicznego kwotę za wypożyczenie gry w jednej i drugiej wypożyczalni i ułożyć poprawne równanie (Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz w jakikolwiek sposób, że koszt wypożyczenia tej gry jest jednakowy przy wypożyczeniu gry na \(8\) dni (bo nie uwzględnisz trzech dni ze stałą opłatą).
3 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest nieprawidłowy w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 18. (1pkt) Na rysunku przedstawiono prostokąt, którego wymiary są opisane za pomocą wyrażeń.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Jeden z boków prostokąta ma długość \(8\).
Obwód prostokąta jest równy \(20\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Prostokąt ma dwie pary równych boków. W naszym przypadku każdy bok został zapisany w nieco innej postaci wyrażenia algebraicznego, co możemy wykorzystać do obliczenia długości poszczególnych boków. W przypadku pary dłuższych boków zachodzi równanie:
$$x=16-x \\
2x=16 \\
x=8$$
Krok 2. Obliczenie miary krótszego boku prostokąta.
Analogicznie jak to było w przypadku dłuższego boku prostokąta, tak i przy krótszym boku możemy ułożyć odpowiednie równanie:
$$y=2y-2 \\
y=2$$
Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta.
Skoro jeden bok prostokąta ma długość \(8\), a drugi ma długość \(2\), to obwód prostokąta wynosi:
$$Obw=2\cdot8+2\cdot2 \\
Obw=16+4 \\
Obw=20$$
Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo dłuższy bok prostokąta ma długość \(8\).
Drugie zdanie jest prawdą, bo obwód prostokąta wynosi \(20\).
Zadanie 20. (2pkt) Pan Jan wybrał z bankomatu \(2900 zł\). Na tę kwotę składały się łącznie \(22\) banknoty \(200\)-złotowe i \(100\)-złotowe. Ile banknotów \(100\)-złotowych pan Jan wybrał z bankomatu? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(22-x\) - liczba banknotów \(200zł\)
Możemy więc powiedzieć, że:
\(100\cdot x\) - kwota złożona z banknotów \(100zł\)
\(200\cdot(22-x)\) - kwota złożona z banknotów \(200zł\)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma pieniędzy wybranych z bankomatu wynosi \(2900zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$100\cdot x+200\cdot(22-x)=2900 \\
100x+4400-200x=2900 \\
-100x=-1500 \\
x=15$$
To oznacza, że pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.
Zadanie 21. (3pkt) Z okazji dnia sportu w godzinach od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę z wszystkich konkurencji zaplanowanych na cały dzień, a między 12:00 a 14:00 – jeszcze \(\frac{1}{3}\) pozostałych. O godzinie 14:00 z powodu deszczu zakończono zawody. W tym dniu nie przeprowadzono \(12\) zaplanowanych konkurencji. Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu?
Odpowiedź
Planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Cała sytuacja wyglądała następująco:
\(x\) - liczba wszystkich konkurencji
\(\frac{1}{2}x\) - liczba konkurencji zaplanowanych od 9:00 do 12:00
Skoro do godziny 12:00 zorganizowano \(\frac{1}{2}x\) konkurencji, a wszystkich konkurencji mieliśmy \(x\), to do zorganizowania zostało jeszcze
$$x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$$
Między 12:00-14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{3}\) konkurencji z tych co pozostały! Czyli w tym czasie przeprowadzono:
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$$
To oznacza, że łącznie przeprowadzono:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x+\frac{1}{6}x=\frac{4}{6}x=\frac{2}{3}x$$
Wyszło nam, że przeprowadzono dwie trzecie wszystkich konkurencji. Tym samym oznacza to, że nie przeprowadzono:
$$x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$
Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich konkurencji.
Z treści zadania wynika, że nie przeprowadzono \(12\) konkurencji. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{3}x=12 \\
x=36$$
To oznacza, że planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że w godzinach od 12:00 do 14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{6}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (nawet słownie) że np. \(6\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) z połowy (nie z całości!) zaplanowanych konkurencji.
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że np. \(12\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (2pkt) W pierwszym zbiorniku było czterokrotnie więcej wody niż w drugim. Po wlaniu \(6\) litrów wody do każdego z nich, w pierwszym jest dwukrotnie więcej wody niż w drugim. Ile łącznie wody jest teraz w obu zbiornikach?
Odpowiedź
W obu zbiornikach jest łącznie \(27\) litrów wody.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
Wprowadźmy sobie oznaczenia i spróbujmy ułożyć równanie na podstawie treści zadania:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku
\(4x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku (bo jest jej czterokrotnie więcej)
Wiemy, że po wlaniu \(6\) litrów wody otrzymamy sytuację w której w pierwszym zbiorniku jest dwa razy więcej wody, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6)$$
Uwaga: Równie dobrze możemy zapisać, że:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku
\(\frac{1}{4}x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku
Wtedy po dolaniu wody otrzymamy równanie:
$$x+6=2\cdot\left(\frac{1}{4}x+6\right)$$
Krok 2. Obliczenie początkowej ilości wody w pierwszym i drugim zbiorniku.
Rozwiązując powstałe równanie obliczymy początkową ilość litrów wody w drugim zbiorniku, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6) \\
4x+6=2x+12 \\
2x=6 \\
x=3$$
Wyszło nam z obliczeń, że w drugim pojemniku mamy \(3\) litry wody. To oznacza, że w pierwszym zbiorniku było \(4\cdot3=12\) litrów wody.
Krok 3. Obliczenie końcowej łącznej ilości wody w obu zbiornikach.
Naszym zadaniem jest obliczenie łącznej ilości wody w obu zbiornikach po dolaniach.
W pierwszym zbiorniku było \(12\) litrów wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(18\) litrów.
W drugim zbiorniku były \(3\) litry wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(9\) litrów.
Łącznie jest to więc \(18+9=27\) litrów.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie pozwalające obliczyć ilość wody w jednym lub drugim zbiorniku (Krok 1).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 23. (2pkt) W kwiaciarni było trzy razy więcej czerwonych róż niż białych. Pan Nowak kupił \(40\) czerwonych róż i wtedy w kwiaciarni zostało dwa razy więcej białych róż niż czerwonych. Ile białych róż było w kwiaciarni? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
W kwiaciarni było \(16\) białych róż.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że róż czerwonych jest \(3\) razy więcej niż białych, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba róż białych
\(3x\) - liczba róż czerwonych
To oznacza, że w takim razie róż białych i czerwonych jest łącznie:
$$x+3x=4x$$
Krok 2. Zapisanie liczby róż, po zakupie Pana Nowaka.
Pan Nowak kupił \(40\) czerwonych róż. Zapisaliśmy sobie, że róż czerwonych jest \(3x\), więc po zakupie Pana Nowaka, tych czerwonych róż zostało \(3x-40\). Z treści zadania wiemy, że po zakupie Pana Nowaka, białych róż jest \(2\) razy więcej od czerwonych, czyli białych róż jest teraz:
$$2\cdot(3x-40)=6x-80$$
Krok 3. Obliczenie liczby białych róż.
Na początku zapisaliśmy sobie, że białych róż jest \(x\), a teraz wyszło nam, że jest ich \(6x-80\). Te wartości muszą być sobie równe, bo liczba białych róż się nie zmieniła, jest cały czas taka sama. Możemy więc zapisać, że:
$$x=6x-80 \\
-5x=-80 \\
x=16$$
To oznacza, że w kwiaciarni było \(16\) białych róż.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 24. (4pkt) Na rzece zbudowano most, który zachodzi na jej brzegi: \(150\) metrów mostu zachodzi na jeden brzeg, a \(\frac{1}{3}\) długości mostu na drugi. Oblicz szerokość rzeki, jeżeli stanowi ona \(\frac{1}{6}\) długości mostu.
Odpowiedź
Szerokość rzeki wynosi \(50m\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie poprawnych oznaczeń.
Wypiszmy dane z treści zadania, stosując przy okazji poprawne oznaczenia:
\(x\) - długość mostu
\(150\) - długość mostu jaka zachodzi na pierwszy brzeg
\(\frac{1}{3}x\) - długość mostu jaka zachodzi na drugi brzeg
\(\frac{1}{6}x\) - szerokość rzeki
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Długość mostu będzie równa sumie części zachodzącej na pierwszy i drugi brzeg oraz szerokości samej rzeki. Możemy zatem zapisać, że:
$$x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x$$
Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, wymnażając wszystko przez \(6\), otrzymamy wtedy:
$$6x=900+2x+x \\
3x=900 \\
x=300$$
Krok 3. Wyznaczenie szerokości rzeki.
Otrzymany wynik to jeszcze nie koniec obliczeń, bo wyznaczyliśmy do tej pory długość mostu, a my szukamy szerokości rzeki. Z treści zadania i z oznaczeń które sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku wynika, że szerokość rzeki stanowi \(\frac{1}{6}\) długości mostu, czyli:
$$\frac{1}{6}\cdot300m=50m$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie typu \(x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość mostu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz szerokość rzeki, ale otrzymany wynik nie jest prawidłowy ze względu na błąd rachunkowy popełniony w trakcie rozwiązywania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 25. (3pkt) Uczniowie klas trzecich pewnego gimnazjum pojechali na wycieczkę pociągiem. W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o \(3\) przedziały więcej. Ilu uczniów pojechało na tę wycieczkę?
Odpowiedź
Na wycieczkę pojechało \(72\) uczniów.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba ośmioosobowych przedziałów
\(8x\) - liczba uczniów w pociągu z ośmioosobowymi (bo w każdym przedziale jest ośmiu uczniów)
\(x+3\) - liczba sześcioosobowych przedziałów
\(6(x+3)\) - liczba uczniów w pociągu z sześcioosobowymi przedziałami
Krok 2. Obliczenie liczby przedziałów ośmioosobowych.
Liczba uczniów jest niezmienna, więc między wartościami \(8x\) oraz \(6(x+3)\) możemy postawić znak równości. To pozwoli nam obliczyć niewiadomą \(x\), czyli liczbę przedziałów ośmioosobowych.
$$8x=6(x+3) \\
8x=6x+18 \\
2x=18 \\
x=9$$
To oznacza, że jest dziewięć przedziałów ośmioosobowych.
Krok 3. Obliczenie liczby uczniów.
Skoro wiemy, że było dziewięć przedziałów ośmioosobowych, to znaczy, że uczniów było:
$$9\cdot8=72$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że masz tylko jedną niewiadomą \(x\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz jedno z dwóch równań z których da się stworzyć układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie np. \(8x=6(x+3)\).
ALBO
• Gdy zbudujesz poprawny układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (3pkt) Maja, Ola i Jagna kupowały zeszyty. Maja za \(3\) grube zeszyty i \(8\) cienkich zapłaciła \(10zł\). Ola kupiła \(4\) grube oraz \(4\) cienkie zeszyty i również zapłaciła \(10zł\). Czy Jagnie wystarczy \(10\) złotych na zakup \(5\) grubych zeszytów i \(1\) cienkiego?
Odpowiedź
Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(g\) - grube zeszyty
\(c\) - cienkie zeszyty
Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zakupy Mai możemy opisać równaniem:
$$3g+8c=10$$
Natomiast zakupy Oli możemy zapisać jako:
$$4g+4c=10$$
Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań zapisanych w kroku pierwszym możemy ułożyć układ równań, którego rozwiązanie pozwoli nam ustalić cenę każdego z tych zeszytów:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
4g+4c=10
\end{cases}$$
Najprościej będzie zastosować chyba metodę przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie przez \(-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
-8g-8c=-20
\end{cases}$$
Dodając obydwa równania stronami otrzymamy:
$$-5g=-10 \\
g=2$$
Znamy już cenę grubego zeszytu (wynosi ona \(2zł\)), więc podstawiając ją do dowolnego z równań bez przeszkód obliczymy cenę cienkiego zeszytu. Przykładowo podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy:
$$3\cdot2+8c=10 \\
6+8c=10 \\
8c=4 \\
c=0,5$$
W ten sposób wyznaczyliśmy cenę obydwu zeszytów: gruby zeszyt kosztuje \(2zł\), a cienki \(0,5zł\).
Krok 3. Ustalenie, czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
Na sam koniec musimy ustalić, czy Jagna będzie w stanie kupić \(5\) grubych zeszytów oraz \(1\) cienki, mając jedynie \(10zł\). Koszt zeszytów Jagny jest równy:
$$5\cdot2zł+1\cdot0,5zł=10zł+0,5zł=10,5$$
To oznacza, że Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie obydwa równania tworzące układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że gruby zeszyt jest czterokrotnie droższy od zeszytu cienkiego.
2 pkt
• Gdy obliczysz ceny obydwu zeszytów (Krok 2.), ale nie ustalisz czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
dzięki za zadania
Spoko zadanka. Dzięki
fajne zadanka naprawdę mi pomogły
spoko zadania.
Idealne zadania do powtórki. Dzięki
Dziękuję za te zadania, idealna powtórka!
fajne polecam
Pomocne w utrwaleniu materiału
Fajne zadania do powtórzenia przed egzaminem.
Świetne zadania, są idealne do powtórki do egzaminu :)
Wszystko co jest tu, miałem na kartkówce. Dzięki tobie dostane 6. Dzięki wielkie <3
mega fajne polecam
na egzaminie też takie łatwe będą bo w podręczniku takie trudne a tu takie łatwe