Równania – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

Hania kupiła \(3\) tabliczki, każda kosztuje \(x\), zatem za czekolady zapłaciła \(3x\). Z treści zadania wynika, że \(3x\) plus reszta \(0,6zł\) ma nam dać kwotę \(15zł\), zatem prawidłowym równaniem będzie:
$$3x+0,6=15$$

D

Co roku krzew podwaja swoją wysokość. Z tego też względu wystarczy rozpisać sobie jaką wysokość miał krzew w poszczególnych latach i sprawdzić jaką ostatecznie wysokość osiągnie po trzech latach:
\(x\) - wysokość krzewu w dniu posadzenia
\(2x\) - wysokość krzewu po roku
\(2\cdot2x=4x\) - wysokość krzewu po dwóch latach
\(2\cdot4x=8x\) - wysokość krzewu po trzech latach

To oznacza, że prawidłowym równaniem będzie \(8x=144\).

B

Z treści zadania wynika prosta proporcja:
\(12\) dni - \(x\) pracowników
\(9\) dni - \(x+2\) pracowników

W związku z tym, że są to wielkości odwrotnie proporcjonalne (wraz ze wzrostem liczby pracowników spada liczba dni wykonania zamówienia) to nie możemy mnożyć na skos, tylko mnożymy w linii. Otrzymamy zatem równanie:
$$12x=9(x+2)$$

C

Przeanalizujmy treść zadania. Wiemy, że jeden tulipan kosztuje \(1,2zł\). Skoro więc sprzedawca kupił \(t\) tulipanów, to zapłacił za nie \(1,2\cdot t\) złotych. Teraz spójrzmy na róże. Jedna róża kosztuje \(4zł\), a sprzedawca kupił tych róż o \(50\) mniej niż tulipanów (bo z treści zadania wynika, że tulipanów jest o \(50\) więcej niż róż). Można więc powiedzieć, że sprzedawca kupił \(t-50\) róż, czyli zapłacił za nie \(4\cdot(t-50)\). Teraz wydatki na tulipany i róże musimy zsumować i wiemy, że ta suma jest równa \(580zł\), stąd też otrzymamy równanie \(1,2t+4(t-50)=580\).

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Mamy ułożyć równanie pozwalające obliczyć nam cenę monitora, czyli najlepiej będzie jeżeli za niewiadomą \(x\) przyjmiemy cenę monitora. Skoro drukarka jest tańsza o \(300zł\) od monitora, to cenę drukarki moglibyśmy zapisać jako \(x-300\). Mamy zatem:
\(x\) - cena monitora
\(x-300\) - cena drukarki

Krok 2. Ułożenie poprawnego równania.
Skoro zakupiono \(8\) monitorów po cenie \(x\) oraz \(6\) drukarek w cenie \(x-300\) i zapłacono za to \(9400zł\), to poszukiwanym równaniem będzie:
$$8\cdot x+6\cdot(x-300)=9400$$

Takie równanie znalazło się w drugiej odpowiedzi.

C

Spróbujmy uprościć sobie informacje, które zawarte są w treści zadania. Z zadania wynika, że \(\frac{1}{3}\) liczby \(x\) jest o \(\frac{3}{4}\) większe od \(\frac{1}{6}\) liczby \(x\). Możemy więc powiedzieć, że \(\frac{1}{3}x\) to tyle samo co \(\frac{1}{6}x+\frac{3}{4}\) i takie też równanie znalazło się w trzeciej odpowiedzi.

W baku zostanie \(35\) litrów benzyny.

Aby obliczyć ile benzyny zostanie w baku po przejechaniu \(200km\) musimy zgodnie z informacjami podanymi w treści zadania podstawić do wskazanego wzoru \(x=200\). Zatem:
$$y=-0,05x+45 \\
y=-0,05\cdot200+45 \\
y=-10+45=35$$

To oznacza, że w baku zostanie \(35\) litrów benzyny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru \(x=200\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Kluczem do sukcesu jest poprawne zapisanie liczby znaczków w postaci wyrażeń algebraicznych. Nie wiemy ile znaczków ma Jacek, ani ile znaczków ma Paweł, ale możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba znaczków Pawła
\(x+30\) - liczba znaczków Jacka

Musimy zapisać liczbę znaczków Jacka jako \(x+30\), bo z treści zadania wynika że Jacek ma o \(30\) znaczków więcej.

Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie powstałego równania.
Z treści zadania wiemy, że razem chłopcy mają \(350\) znaczków, zatem możemy zapisać że:
$$x+(x+30)=350 \\
2x+30=350 \\
2x=320 \\
x=160$$

Skoro iksem jest liczba znaczków Pawła, to oznacza że Paweł ma \(160\) znaczków.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Musimy zapisać w matematyczny sposób informację o tym, że znaczek australijski jest pięciokrotnie droższy od znaczka krajowego. Zapiszmy więc zatem, że:
\(x\) - cena znaczka krajowego
\(5x\) - cena znaczka australijskiego

Zapis \(5x\) bierze się właśnie stąd, że znaczek australijski jest pięciokrotnie droższy.

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie powstałego równania.
Paweł kupił \(3\) znaczki krajowe oraz \(1\) znaczek australijski i zapłacił za nie \(16zł\). Możemy więc ułożyć równanie:
$$3\cdot x+1\cdot5x=16zł \\
3x+5x=16zł \\
8x=16zł \\
x=2zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny znaczka australijskiego.
\(x=2zł\) to nie jest jeszcze dobre rozwiązanie, bo za iksa przyjęliśmy cenę znaczka krajowego, a musimy podać cenę znaczka australijskiego, a ta wynosi \(5x\), czyli:
$$5\cdot2zł=10zł$$

Odległość między domem i jeziorem wynosi \(16km\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - poszukiwana odległość między domem Marcina i jeziorem
\(\frac{3}{4}x\) - odległość pokonana autobusem
\(\frac{1}{4}x\) - odległość pokonana pieszo

Trasa pokonana pieszo jest o \(8km\) krótsza od trasy pokonanej autobusem, zatem:
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Musimy teraz rozwiązać zapisane powyżej równanie, a otrzymana wartość \(x\) będzie poszukiwaną odległością. Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, mnożąc obydwie strony równania przez \(4\):
$$\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x \quad\bigg/\cdot4 \\
3x-32=x \\
2x=32 \\
x=16[km]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że droga pokonana pieszo stanowi \(\frac{1}{4}x\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie (np. \(\frac{3}{4}x-8=\frac{1}{4}x\)) pozwalające obliczyć niewiadomą \(x\) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana pierwszego dnia
\(2x\) - trasa pokonana drugiego dnia
\(x-5\) - trasa pokonana trzeciego dnia

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Łącznie w trzy dni uczniowie przeszli \(39km\), zatem możemy zapisać, że:
$$x+(2x)+(x-5)=39 \\
4x-5=39 \\
4x=44 \\
x=11$$

Z racji tego iż naszym iksem jest liczba kilometrów przebytych pierwszego dnia, to właśnie to jest nasza prawidłowa odpowiedź.

E

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$

\(16\) książek

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Na podstawie danych z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - wszystkie nagrody
\(\frac{2}{3}x\) - książki
\(\frac{2}{3}x-8\) - ebooki

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma książek oraz ebooków musi być równa liczbie wszystkich nagród, zatem otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{2}{3}x+\left(\frac{2}{3}x-8\right)=x \\
\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x-8=x \\
\frac{4}{3}x-8=x \quad\bigg/-x \\
\frac{4}{3}x-x-8=0 \quad\bigg/+8 \\
\frac{4}{3}x-x=8 \\
\frac{1}{3}x=8 \\
x=24$$

Krok 3. Obliczenie liczby książek.
To jeszcze nie jest koniec zadania! Wyszło nam, że \(x=24\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami \(x\) to jest liczba wszystkich nagród. Książek mamy \(\frac{2}{3}x\), zatem:
$$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\cdot24=16$$

To oznacza, że było \(16\) książek.

Można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena myszki przewodowej
\(x+11\) - cena muszki bezprzewodowej

Krok 2. Obliczenie ceny myszki bezprzewodowej.
Zakupiono \(6\) myszek bezprzewodowych i \(6\) myszek przewodowych i wydano na nie \(234zł\). Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$6\cdot x+6\cdot(x+11)=234 \\
6x+6x+66=234 \\
12x=168 \\
x=14$$

Wiemy więc, że myszka przewodowa kosztuje \(14zł\), czyli tym samym myszka bezprzewodowa kosztuje \(14zł+11zł=25zł\).

Krok 3. Ustalenie, ile myszek bezprzewodowych można zakupić.
Celem naszego zadania jest obliczenia jaka jest maksymalna liczba myszek bezprzewodowych, które można zakupić za podaną kwotę. Skoro mamy do wydania \(234zł\), a myszka bezprzewodowa kosztuje \(25zł\), to takich myszek możemy zakupić:
$$234:25=9,36\approx9$$

To oznacza, że można kupić \(9\) myszek bezprzewodowych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia ceny myszki bezprzewodowej lub przewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz łączny koszt zakupu myszki bezprzewodowej i przewodowej.
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę myszki bezprzewodowej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia liczby myszek bezprzewodowych, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Kwiaty nie mogły kosztować \(35zł\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba róż w bukiecie
\(2x\) - liczba goździków w bukiecie

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania.
Wiemy, że w bukiecie jest \(x\) róż, każda kosztuje \(4zł\). Wiemy też, że w bukiecie mamy \(2x\) goździków, z czego każdy kosztuje \(3zł\). Skoro cały bukiet kosztował \(35zł\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$4\cdot x+3\cdot2x=35 \\
4x+6x=35 \\
10x=35 \\
x=3,5$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że aby bukiet kosztował zgodnie z założeniami \(35zł\), to w bukiecie powinno znaleźć się \(3,5\) róży. Otrzymanie wyniku niecałkowitego sprawia, że taki bukiet nie mógł kosztować \(35zł\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy cenę bukietu opiszesz wyrażeniem algebraicznym z jedną niewiadomą, ale nie ułożysz z niego równania np. napiszesz, że bukiet kosztuje \(4\cdot x+3\cdot2x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Koszt wypożyczenia tej gry w obu wypożyczalniach jest jednakowy przy wypożyczeniu gry na \(11\) dni.

Możemy dojść do rozwiązania obliczając koszty wypożyczenia dla każdego poszczególnego dnia, natomiast najlepiej jest rozwiązać to zadanie układając proste równanie.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - liczba dni powyżej trzeciego dnia
\(8+2,5x\) - łączna kwota za wypożyczenie gry w Gierce
\(12+2x\) - łączna kwota za wypożyczenie gry w Planszówce

Naszym zadaniem jest sprawdzenie kiedy koszt wypożyczenia gry będzie jednakowy, czyli kiedy wartości \(8+2,5x\) oraz \(12+2x\) się zrównają, czyli kiedy:
$$8+2,5x=12+2x$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
$$8+2,5x=12+2x \\
0,5x=4 \\
x=8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Patrząc się na oznaczenia nasz \(x\) oznacza, że koszty wypożyczenia zrównają się po ośmiu dniach powyżej trzeciego dnia, czyli będzie to dzień jedenasty.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę w opłacie stałej (\(4zł\)) oraz różnicę w kosztach wypożyczenia gry za każdy dzień powyżej trzeciego (\(0,5zł\)).
LUB
• Gdy zapiszesz w postaci wyrażenia algebraicznego kwotę za wypożyczenie gry w jednej z wypożyczalni (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz w postaci wyrażenia algebraicznego kwotę za wypożyczenie gry w jednej i drugiej wypożyczalni i ułożyć poprawne równanie (Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz w jakikolwiek sposób, że koszt wypożyczenia tej gry jest jednakowy przy wypożyczeniu gry na \(8\) dni (bo nie uwzględnisz trzech dni ze stałą opłatą).
3 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest nieprawidłowy w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli trójkąt ma jednakowe miary kątów przy podstawie, to jest to na pewno trójkąt równoramienny. Skoro tak, to ramiona o długości \(3x+1\) oraz \(2x+4\) muszą być sobie równe, czyli:
$$3x+1=2x+4 \\
x=3$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta.
Dodając do siebie wszystkie długości boków, obwód tego trójkąta wyniesie:
$$Obw=2x+1+2x+4+3x+1 \\
Obw=7x+6$$

Podstawiając teraz \(x=3\), otrzymamy:
$$Obw=7\cdot3+6 \\
Obw=21+6 \\\
Obw=27$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Prostokąt ma dwie pary równych boków. W naszym przypadku każdy bok został zapisany w nieco innej postaci wyrażenia algebraicznego, co możemy wykorzystać do obliczenia długości poszczególnych boków. W przypadku pary dłuższych boków zachodzi równanie:
$$x=16-x \\
2x=16 \\
x=8$$

Krok 2. Obliczenie miary krótszego boku prostokąta.
Analogicznie jak to było w przypadku dłuższego boku prostokąta, tak i przy krótszym boku możemy ułożyć odpowiednie równanie:
$$y=2y-2 \\
y=2$$

Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta.
Skoro jeden bok prostokąta ma długość \(8\), a drugi ma długość \(2\), to obwód prostokąta wynosi:
$$Obw=2\cdot8+2\cdot2 \\
Obw=16+4 \\
Obw=20$$

Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo dłuższy bok prostokąta ma długość \(8\).
Drugie zdanie jest prawdą, bo obwód prostokąta wynosi \(20\).

C

Obrazowo rzecz ujmując skoro panowie podzielili się kosztami w stosunku \(2:3:6\), to możemy zapisać, że:
Pan Adam zapłacił \(2x\).
Pan Janusz zapłacił \(3x\).
Pan Oskar zapłacił \(6x\).

Łącznie Panowie zapłacili:
$$2x+3x+6x=11x$$

Cena samochodu wynosi \(154\;000zł\), zatem:
$$11x=154\;000zł \\
x=14000zł$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami Pan Janusz zapłacił kwotę \(3x\), czyli zapłacił:
$$3\cdot14\;000zł=42\;000zł$$

Pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(22-x\) - liczba banknotów \(200zł\)

Możemy więc powiedzieć, że:
\(100\cdot x\) - kwota złożona z banknotów \(100zł\)
\(200\cdot(22-x)\) - kwota złożona z banknotów \(200zł\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma pieniędzy wybranych z bankomatu wynosi \(2900zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$100\cdot x+200\cdot(22-x)=2900 \\
100x+4400-200x=2900 \\
-100x=-1500 \\
x=15$$

To oznacza, że pan Jan wybrał \(15\) banknotów \(100\)-złotowych.

Planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Cała sytuacja wyglądała następująco:
\(x\) - liczba wszystkich konkurencji
\(\frac{1}{2}x\) - liczba konkurencji zaplanowanych od 9:00 do 12:00

Skoro do godziny 12:00 zorganizowano \(\frac{1}{2}x\) konkurencji, a wszystkich konkurencji mieliśmy \(x\), to do zorganizowania zostało jeszcze
$$x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$$

Między 12:00-14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{3}\) konkurencji z tych co pozostały! Czyli w tym czasie przeprowadzono:
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$$

To oznacza, że łącznie przeprowadzono:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x+\frac{1}{6}x=\frac{4}{6}x=\frac{2}{3}x$$

Wyszło nam, że przeprowadzono dwie trzecie wszystkich konkurencji. Tym samym oznacza to, że nie przeprowadzono:
$$x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$


Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich konkurencji.
Z treści zadania wynika, że nie przeprowadzono \(12\) konkurencji. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{3}x=12 \\
x=36$$

To oznacza, że planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że w godzinach od 12:00 do 14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{6}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (nawet słownie) że np. \(6\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) z połowy (nie z całości!) zaplanowanych konkurencji.
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że np. \(12\) konkurencji stanowi \(\frac{1}{3}\) wszystkich konkurencji (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W obu zbiornikach jest łącznie \(27\) litrów wody.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
Wprowadźmy sobie oznaczenia i spróbujmy ułożyć równanie na podstawie treści zadania:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku
\(4x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku (bo jest jej czterokrotnie więcej)

Wiemy, że po wlaniu \(6\) litrów wody otrzymamy sytuację w której w pierwszym zbiorniku jest dwa razy więcej wody, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6)$$

Uwaga: Równie dobrze możemy zapisać, że:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku
\(\frac{1}{4}x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku

Wtedy po dolaniu wody otrzymamy równanie:
$$x+6=2\cdot\left(\frac{1}{4}x+6\right)$$

Krok 2. Obliczenie początkowej ilości wody w pierwszym i drugim zbiorniku.
Rozwiązując powstałe równanie obliczymy początkową ilość litrów wody w drugim zbiorniku, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6) \\
4x+6=2x+12 \\
2x=6 \\
x=3$$

Wyszło nam z obliczeń, że w drugim pojemniku mamy \(3\) litry wody. To oznacza, że w pierwszym zbiorniku było \(4\cdot3=12\) litrów wody.

Krok 3. Obliczenie końcowej łącznej ilości wody w obu zbiornikach.
Naszym zadaniem jest obliczenie łącznej ilości wody w obu zbiornikach po dolaniach.
W pierwszym zbiorniku było \(12\) litrów wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(18\) litrów.
W drugim zbiorniku były \(3\) litry wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(9\) litrów.
Łącznie jest to więc \(18+9=27\) litrów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie pozwalające obliczyć ilość wody w jednym lub drugim zbiorniku (Krok 1).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W kwiaciarni było \(16\) białych róż.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że róż czerwonych jest \(3\) razy więcej niż białych, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba róż białych
\(3x\) - liczba róż czerwonych

To oznacza, że w takim razie róż białych i czerwonych jest łącznie:
$$x+3x=4x$$

Krok 2. Zapisanie liczby róż, po zakupie Pana Nowaka.
Pan Nowak kupił \(40\) czerwonych róż. Zapisaliśmy sobie, że róż czerwonych jest \(3x\), więc po zakupie Pana Nowaka, tych czerwonych róż zostało \(3x-40\). Z treści zadania wiemy, że po zakupie Pana Nowaka, białych róż jest \(2\) razy więcej od czerwonych, czyli białych róż jest teraz:
$$2\cdot(3x-40)=6x-80$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych róż.
Na początku zapisaliśmy sobie, że białych róż jest \(x\), a teraz wyszło nam, że jest ich \(6x-80\). Te wartości muszą być sobie równe, bo liczba białych róż się nie zmieniła, jest cały czas taka sama. Możemy więc zapisać, że:
$$x=6x-80 \\
-5x=-80 \\
x=16$$

To oznacza, że w kwiaciarni było \(16\) białych róż.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Szerokość rzeki wynosi \(50m\).

Krok 1. Zapisanie poprawnych oznaczeń.
Wypiszmy dane z treści zadania, stosując przy okazji poprawne oznaczenia:
\(x\) - długość mostu
\(150\) - długość mostu jaka zachodzi na pierwszy brzeg
\(\frac{1}{3}x\) - długość mostu jaka zachodzi na drugi brzeg
\(\frac{1}{6}x\) - szerokość rzeki

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Długość mostu będzie równa sumie części zachodzącej na pierwszy i drugi brzeg oraz szerokości samej rzeki. Możemy zatem zapisać, że:
$$x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x$$

Najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków, wymnażając wszystko przez \(6\), otrzymamy wtedy:
$$6x=900+2x+x \\
3x=900 \\
x=300$$

Krok 3. Wyznaczenie szerokości rzeki.
Otrzymany wynik to jeszcze nie koniec obliczeń, bo wyznaczyliśmy do tej pory długość mostu, a my szukamy szerokości rzeki. Z treści zadania i z oznaczeń które sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku wynika, że szerokość rzeki stanowi \(\frac{1}{6}\) długości mostu, czyli:
$$\frac{1}{6}\cdot300m=50m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie typu \(x=150+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}x\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość mostu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz szerokość rzeki, ale otrzymany wynik nie jest prawidłowy ze względu na błąd rachunkowy popełniony w trakcie rozwiązywania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Na wycieczkę pojechało \(72\) uczniów.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba ośmioosobowych przedziałów
\(8x\) - liczba uczniów w pociągu z ośmioosobowymi (bo w każdym przedziale jest ośmiu uczniów)

\(x+3\) - liczba sześcioosobowych przedziałów
\(6(x+3)\) - liczba uczniów w pociągu z sześcioosobowymi przedziałami

Krok 2. Obliczenie liczby przedziałów ośmioosobowych.
Liczba uczniów jest niezmienna, więc między wartościami \(8x\) oraz \(6(x+3)\) możemy postawić znak równości. To pozwoli nam obliczyć niewiadomą \(x\), czyli liczbę przedziałów ośmioosobowych.
$$8x=6(x+3) \\
8x=6x+18 \\
2x=18 \\
x=9$$

To oznacza, że jest dziewięć przedziałów ośmioosobowych.

Krok 3. Obliczenie liczby uczniów.
Skoro wiemy, że było dziewięć przedziałów ośmioosobowych, to znaczy, że uczniów było:
$$9\cdot8=72$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia w taki sposób, że masz tylko jedną niewiadomą \(x\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz jedno z dwóch równań z których da się stworzyć układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie np. \(8x=6(x+3)\).
ALBO
• Gdy zbudujesz poprawny układ równań np. \(\frac{x}{8}=y\) lub \(\frac{x}{6}=y+3\), gdzie \(x\) to liczba uczniów, natomiast \(y\) to liczba zajętych przedziałów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(g\) - grube zeszyty
\(c\) - cienkie zeszyty

Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zakupy Mai możemy opisać równaniem:
$$3g+8c=10$$

Natomiast zakupy Oli możemy zapisać jako:
$$4g+4c=10$$

Krok 2. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań zapisanych w kroku pierwszym możemy ułożyć układ równań, którego rozwiązanie pozwoli nam ustalić cenę każdego z tych zeszytów:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
4g+4c=10
\end{cases}$$

Najprościej będzie zastosować chyba metodę przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie przez \(-2\). Otrzymamy wtedy:
$$\begin{cases}
3g+8c=10 \\
-8g-8c=-20
\end{cases}$$

Dodając obydwa równania stronami otrzymamy:
$$-5g=-10 \\
g=2$$

Znamy już cenę grubego zeszytu (wynosi ona \(2zł\)), więc podstawiając ją do dowolnego z równań bez przeszkód obliczymy cenę cienkiego zeszytu. Przykładowo podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy:
$$3\cdot2+8c=10 \\
6+8c=10 \\
8c=4 \\
c=0,5$$

W ten sposób wyznaczyliśmy cenę obydwu zeszytów: gruby zeszyt kosztuje \(2zł\), a cienki \(0,5zł\).

Krok 3. Ustalenie, czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
Na sam koniec musimy ustalić, czy Jagna będzie w stanie kupić \(5\) grubych zeszytów oraz \(1\) cienki, mając jedynie \(10zł\). Koszt zeszytów Jagny jest równy:
$$5\cdot2zł+1\cdot0,5zł=10zł+0,5zł=10,5$$

To oznacza, że Jagnie nie wystarczy pieniędzy na planowane zakupy.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie obydwa równania tworzące układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że gruby zeszyt jest czterokrotnie droższy od zeszytu cienkiego.
2 pkt
• Gdy obliczysz ceny obydwu zeszytów (Krok 2.), ale nie ustalisz czy Jagnie wystarczy pieniędzy na zakupy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.