Kąt alfa jest ostry i spełnia równość tg alfa+1/tg alfa=7/2. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa*cos alfa

Kąt \(α\) jest ostry i spełnia równość \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\
tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:
$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\
sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

\(sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}\)