Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to jedna z podstawowych umiejętności w dziale algebry, ale jest tu kilka pułapek na które trzeba uważać i właśnie w tym temacie powiemy sobie jak wykonywać te działania i na co należy uważać.

Przypomnijmy sobie na początku czym jest suma algebraiczna. Jest to wyrażenie typu \(6x+4y\) czy też \(2x-y\), czyli są to po prostu jednomiany połączone znakiem dodawania lub odejmowania. W tym temacie będziemy takie sumy dodawać lub odejmować między sobą, umieszczając poszczególne wyrażenia w nawiasach. Będziemy więc próbowali rozwiązywać zadania typu \((6x+4y)+(2x-y)\).

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
Aby poprawnie dodać lub odjąć sumy algebraiczne musimy wykonać tak naprawdę dwie czynności:
1. Musimy opuścić nawiasy (o ile występują)
2. Musimy uprościć otrzymany wynik redukując wyrazy podobne

Jak poprawnie opuścić nawiasy?
Z opuszczaniem nawiasów jest chyba największy problem i to tu leży główne źródło problemów. Powiedzmy sobie zatem jak należy opuszczać nawiasy, rozpatrując dwie sytuacje:
a) Jeżeli przed nawiasem mamy znak plusa lub też nie mamy żadnego znaku, to opuszczając nawiasy niczego nie zmieniamy. Krótko mówiąc, przepisujemy wyrażenie tak, jakby tych nawiasów nie było. Np.:
$$(6x+4y)+(2x-y)=6x+4y+2x-y=8x+3y$$

b) Jeżeli przed nawiasem mamy znak minusa to w takiej sytuacji pozbywając się nawiasów musimy zmienić znaki wszystkich jednomianów, które się w tym nawiasie znalazły. Przykładowo:
$$(6x+4y)-(2x-y)=6x+4y-2x+y=4x+5y$$

Tutaj najczęściej popełnianym błędem jest to, że o ile pamiętamy by zmienić znak, o tyle bardzo często zmieniamy znak tylko pierwszemu jednomianowi, który się w takim nawiasie znalazł. Dlatego jeszcze raz podkreślmy sobie, że musimy zmienić znaki wszystkich jednomianów, które znalazły się w nawiasie przed którym jest minus.

W ten oto sposób wykonaliśmy pierwsze działania na sumach algebraicznych. Najwięcej problemów sprawia to opuszczenie nawiasów, zwłaszcza kiedy przed nawiasem znajduje się znak minusa, dlatego może przećwiczmy jeszcze parę przykładów, by rozwiać ewentualne wątpliwości.

Przykład 1. Uprość wyrażenie \((5a+b)-4a\).

Przed nawiasem nie mamy żadnego znaku, zatem opuszczamy nawiasy tak jakby stał tam plus (czyli bez zmieniania zawartości nawiasu)
$$(5a+b)-4a=5a+b-4a=a+b$$

Przykład 2. Uprość wyrażenie \(7a+2b+(3a+2b-c)\).

Przed nawiasem mamy dodawanie, zatem wystarczy wystarczy opuścić nawiasy i potraktować je tak, jakby ich nie było. Otrzymamy w ten sposób:
$$7a+2b+(3a+2b-c)=7a+2b+3a+2b-c=10a+4b-c$$

Przykład 3. Uprość wyrażenie \(7a+2b-(3a+2b-c)\).

Zadanie bardzo podobne do poprzedniego, ale tym razem mamy przed nawiasem znak odejmowania. To oznacza, że wszystkie liczby znajdujące się w nawiasie muszą zmienić swój znak. Otrzymamy więc:
$$7a+2b-(3a+2b-c)=7a+2b-3a-2b+c=4a+c$$

Zwróć uwagę, że w tym przypadku uproszczenie zapisu pozwoliło nam wręcz pozbyć się niewiadomej \(b\).

Przykład 4. Uprość wyrażenie \(-(x-y)-(3x-2y)\).

Tym razem mamy dwa nawiasy przed którymi znalazł się minus, więc ostrożnie musimy opuścić obydwa nawiasy opuścić zmieniając odpowiednie znaki.
$$-(x-y)-(3x-2y)=-x+y-3x+2y=-4x+3y$$

Dodaj komentarz