Kąt alfa jest ostry i cos alfa=3/7. Wtedy

Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{3}{7}\). Wtedy:

\(sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}\)
\(sinα=\frac{\sqrt{10}}{7}\)
\(sinα=\frac{4}{7}\)
\(sinα=\frac{3}{7}\)
Rozwiązanie:

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. W skrajnych przypadkach można byłoby nawet zamienić na kalkulatorze wartość \(\frac{3}{7}\) na ułamek dziesiętny i sprawdzić w tablicach dla jakiego mniej więcej kąta ta wartość odpowiada, po czym analogicznie można byłoby przyrównać funkcje trygonometryczne z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i sprawdzić która z nich przyjmie tą samą wartość.

Można byłoby też narysować trójkąt prostokątny i zaznaczyć tam długości boków – \(3x\) dla przyprostokątnej przy kącie oraz \(7x\) dla przeciwprostokątnej, a następnie z Twierdzenia Pitagorasa wyliczyć długość drugiej przyprostokątnej, która posłuży nam do wyliczenia sinusa.

Nie mniej jednak najbardziej uniwersalnym i najszybszym sposobem jest wykorzystanie tzw. „jedynki trygonometrycznej”, czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa z jedynki trygonometrycznej.

$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{7}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{9}{49} \\
sin^2α=\frac{40}{49} \\
sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{40}{49}}$$

Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Skoro kąt jest ostry, to wartość ujemną musimy odrzucić, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje tylko wartości dodatnie. To oznacza, że jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(sinα=\sqrt{\frac{40}{49}}\). Takiej odpowiedzi nie mamy, zatem ten zapis musimy jeszcze uprościć:
$$sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{7} \\
sinα=\frac{\sqrt{4\cdot10}}{7} \\
sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

Odpowiedź:

A. \(sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.