Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2005 – Odpowiedzi

D

Prześledźmy poprawność każdej z podanych odpowiedzi:
Odp. A. Ameryka Północna i Azja zajmują łącznie więcej niż połowę lądów Ziemi.
Komentarz: To nieprawda. Ameryka Północna zajmuje \(16\%\), natomiast Azja zajmuje \(30\%\). Łącznie jest to \(46\%\), a więc mniej niż połowa.

Odp. B. Europa ma najmniejszą powierzchnię spośród wszystkich kontynentów.
Komentarz: To nieprawda, bo Europa zajmuje \(7\%\) i mniejsza od niej jest Australia, która zajmuje \(6\%\).

Odp. C. Afryka i Azja mają łącznie większą powierzchnię niż pozostałe lądy Ziemi.
Komentarz: To nieprawda. Afryka ma \(20\%\), Azja ma \(30\%\), więc razem mają \(50\%\). To oznacza, że także \(50\%\) mają wszystkie pozostałe lądy, co oznacza że zdanie o tym że Afryka i Azja mają większą powierzchnię jest fałszywe.

Odp. D. Powierzchnia Azji stanowi mniej niż jedną trzecią powierzchni lądów Ziemi.
Komentarz: To prawda. Powierzchnia Azji to \(30\%\), a więc faktycznie jest to mniej niż jedna trzecia powierzchni lądów Ziemi.

B

Afryka zajmuje \(20\%\) powierzchni ziemi, co stanowi:
$$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$$

C

Australia zajmuje \(6\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Australii będzie równa:
$$0,06\cdot150mln\;km^2=9mln\;km^2$$

A

Zadanie możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób - obliczając powierzchnię dwóch kontynentów:
Krok 1. Obliczenie powierzchni Antarktydy.
Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Antarktydy będzie równa:
$$0,09\cdot150mln\;km^2=13,5mln\;km^2$$

Krok 2. Obliczenie powierzchni Europy.
Europa zajmuje \(7\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Europy będzie równa:
$$0,07\cdot150mln\;km^2=10,5mln\;km^2$$

Krok 3. Obliczenie różnicy powierzchni.
Antarktyda jest większa od Europy o:
$$13,5mln\;km^2-10,5mln\;km^2=3mln\;km^2$$

II sposób - obliczając różnicę procentową w powierzchni kontynentów:
Jeżeli Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi, a Europa \(7\%\), to znaczy że powierzchnia Antarktydy jest o \(2\) punkty procentowe większa od powierzchni Europy. W związku z tym Antarktyda jest większa od Europy o:
$$0,02\cdot150mln\;km^2=3mln\;km^2$$

B

Aby odpowiedzieć sobie na pytanie który walec ma największą objętość, najprościej będzie podstawić wymiary każdego z nich do wzoru na objętość walca:
$$V=πr^2\cdot H$$

Podstawiając do tego wzoru wymiary poszczególnych walców otrzymamy:
$$V_{1}=π6^2\cdot6=36π\cdot6=216π \\
V_{2}=π5^2\cdot9=25π\cdot9=225π \\
V_{3}=π4^2\cdot12=16π\cdot12=192π \\
V_{4}=π3^2\cdot18=9π\cdot18=162π$$

Największą powierzchnię miał więc drugi walec.

D

Skoro wlano \(0,45l\) wody, a naczynie ma objętość \(V=0,75l\), to woda stanowi:
$$\frac{0,45}{0,75}=\frac{45}{75}=\frac{15}{25}=\frac{60}{100}=60\%$$

B

Zapis odległości został przedstawiony w postaci tak zwanej notacji wykładniczej. Naszym zadaniem jest tak naprawdę zamiana tej notacji na pełną liczbę:
$$2,28\cdot10^{8}km=2,28\cdot100\;000\;000km=228\;000\;000km$$

Długość przęsła zwiększy się o \(3mm\).

Przyrost wydłużenia jest wprost proporcjonalny. Z tabeli wynika jasno że na \(10°C\) przyrostu temperatury długość przęsła zwiększa się o \(1mm\). Skoro tak, to przy przyroście temperatury o \(30°C\) długość przęsła zwiększy się o \(3mm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie postaci wzoru.
Przyglądając się tabelce, a w zasadzie jej wartościom liczbowym widzimy wyraźnie, że liczby znajdujące się w drugim wierszu są dziesięciokrotnie mniejsze od liczb znajdujących się w pierwszym wierszu. Skoro tak, to poszukiwany wzór będzie mieć następującą postać:
$$Δl=\frac{1}{10}Δt \\
\text{lub }Δl=0,1Δt$$

Krok 2. Ustalenie współczynnika proporcjonalności.
Musimy ustalić współczynnik proporcjonalności (wraz z jednostką) \(Δl\) względem \(Δt\). Skoro są to wartości wprost proporcjonalne, to wystarczy wziąć jedną parę liczb (poza zerami) i zapisać to w formie ułamka:
$$\frac{Δl}{Δt}=\frac{1mm}{10°C}=0,1\frac{mm}{°C}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz wzór (Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprawnie określisz współczynnik proporcjonalności wraz z jego jednostką (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik w obydwu podpunktach.

Teleskop porusza się z prędkością \(v=26400\frac{km}{h}\).

Krok 1. Obliczenie promienia okręgu po którym porusza się teleskop.
Do obliczenia prędkości (a to jest celem naszego zadania) będziemy potrzebować drogi i czasu. Czas jest podany, musimy więc wyznaczyć drogę. Nasza droga (czyli orbita) jest tak naprawdę obwodem pewnego okręgu, zatem jej długość możemy wyliczyć ze wzoru:
$$Obw=2πr$$

Potrzebujemy więc ustalić najpierw jaka jest ta długość promienia. Nie będzie to \(6400km\), bo to jest jedynie promień Ziemi, a teleskop znajduje się jeszcze wyżej. To oznacza, że do wartości \(R_{z}=6400km\) musimy dodać wysokość na jakiej wzniósł się teleskop, czyli \(600km\). Otrzymamy w ten sposób promień okręgu, który jest naszą orbitą.
$$r=6400km+600km=7000km$$

Krok 2. Obliczenie długości okręgu/orbity.
Znając promień bez problemu wyznaczymy długość orbity. Od razu też użyjemy przybliżenia liczby \(π\), które jest podane w treści zadania:
$$Obw=2π\cdot7000km \\
Obw=14000π\;km \\
Obw=14000\cdot\frac{22}{7}km \\
Obw=44000km$$

Krok 3. Obliczenie prędkości poruszania się teleskopu wokół Ziemi.
Prędkość poruszania się teleskopu obliczymy ze wzoru:
$$v=\frac{s}{t}$$

Długość drogi obliczyliśmy w poprzednim kroku, czas jest podany w treści zadania, więc bez problemu możemy przystąpić do obliczeń. Co prawda w treści zadania nie mamy podane w jakiej jednostce mamy podać tę prędkość (najłatwiej byłoby ją podać w \(\frac{km}{min}\)), ale spróbujmy ją podać w najbardziej typowej jednostce czyli w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc jeszcze zapisać, że:
$$100min=1\frac{2}{3}h=\frac{5}{3}h$$

W związku z tym prędkość poruszania się teleskopu jest równa:
$$v=\frac{44000km}{\frac{5}{3}h}$$

Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, więc aby wybrnąć z tego niewygodnego zapisu najprościej będzie to dzielenie zastąpić tak zwanym mnożeniem przez odwrotność:
$$v=44000km\cdot\frac{3}{5}h \\
v=26400\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie określisz długość promienia okręgu, po którym porusza się teleskop (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość okręgu i prędkość, ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Obszar ten ma w przybliżeniu \(1,6ha\).

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni.
Obszar na którym znajduje się Wieża jest kwadratem o boku długości \(125m\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=125m\cdot125m \\
P=15625m^2$$

Krok 2. Zamiana jednostek na hektary i wykonanie poprawnego zaokrąglenia.
\(1\) hektar jest równy \(10000m^2\). To oznacza, że nasz obszar ma pole powierzchni równe \(1,5625ha\). Musimy jeszcze poprawnie zaokrąglić ten wynik z dokładnością do \(0,1ha\), zatem:
$$1,5625ha\approx1,6ha$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pole powierzchni obszaru, ale nie zamienisz tej wartości na hektary (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Potrzeba \(378cm^2\) papieru.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic rysunku z zaznaczeniem informacji podanych w treści zadania.


Bardzo ważne jest tutaj dostrzeżenie odcinka \(OE\). Ma on długość równą połowie długości krawędzi bocznej, czyli \(10:2=5\).

Krok 2. Wyznaczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia zużycia papieru potrzebujemy znać pole powierzchni całkowitej naszej bryły. Pole powierzchni całkowitej bryły będzie równe sumie pola podstawy (to możemy wyliczyć bez przeszkód) oraz czterech ścian bocznych, których znamy tylko długość podstawy. Musimy więc jeszcze poznać wysokość ściany bocznej (zaznaczonej na rysunku jako \(h\)), tak aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, której nam póki co brakuje. Tę długość obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+12^2=h^2 \\
25+144=h^2 \\
h^2=169 \\
h=13[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt, którego podstawa ma długość \(10\), a wysokość jest równa \(13\). Pole takiego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}10cm\cdot13cm \\
P=65cm^2$$

Z racji tego iż mamy cztery takie trójkąty, bo są cztery ściany boczne, to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot65cm^2=260cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat o boku \(10cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{p}=10cm\cdot10cm=100cm^2$$

Krok 5. Obliczenie zużycia papieru.
Pole powierzchni całkowitej jest równe:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=100cm^2+260cm^2 \\
P_{c}=360cm^2$$

To jednak nie wszystko, bo musimy uwzględnić zakładki, co zgodnie z treścią zadania zwiększa nam zużycie papieru o \(5\%\). Na same zakładki zużyjemy więc:
$$0,05\cdot360cm^2=18cm^2$$

Łącznie więc potrzebujemy:
$$360cm^2+18cm^2=378cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pola powierzchni bocznej oraz podstawy (Krok 3. i 4.) lub od razu obliczysz pole powierzchni całkowitej.
3 pkt
• Gdy obliczysz ile to jest \(5\%\) z pola powierzchni całkowitej (Krok 5.), ale nie dodasz tej wartości do pola powierzchni całkowitej tylko na tym zakończysz zadanie.
ALBO
• Gdy obliczysz wszystkie rzeczy, ale popełnisz błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Koszty instalacji zwrócą się po \(8\) miesiącach.

Krok 1. Obliczenie miesięcznych kosztów dla auta na benzynę.
Samochód spala \(7\) litrów benzyny na \(100km\). My mamy przejeżdżać \(2000km\) (czyli \(20\) razy więcej), więc spalimy \(7l\cdot20=140l\).
Jeżeli cena benzyny jest równa \(3,80zł/l\) to za benzynę zapłacimy:
$$140l\cdot3,80zł/l=532zł$$

Krok 2. Obliczenie miesięcznych kosztów dla auta na gaz.
Samochód spala \(8\) litrów gazu na \(100km\). My mamy przejeżdżać \(2000km\) (czyli \(20\) razy więcej), więc spalimy \(8l\cdot20=160l\).
$$160l\cdot1,60zł/l=256zł$$

Krok 3. Obliczenie miesięcznej oszczędności.
Miesięcznie zaoszczędzimy na gazie:
$$532zł-256zł=276zł$$

Krok 4. Obliczenie czasu zwrotu instalacji gazowej.
Jeżeli montaż instalacji gazowej kosztuje \(2208zł\), a my miesięcznie jesteśmy w stanie zaoszczędzić \(276zł\), to instalacja zwróci się po okresie:
$$2208zł:276zł=8\text{ (miesięcy)}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miesięczny koszt benzyny lub gazu (Krok 1. lub 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz koszt benzyny lub gazu potrzebnych do przejechania \(100km\).
2 pkt
• Gdy obliczysz miesięczny koszt benzyny i gazu (Krok 1. lub 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz koszt benzyny i gazu potrzebnych do przejechania \(100km\).
3 pkt
• Gdy obliczysz jakie są miesięczne oszczędności (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz czas zwrotu instalacji gazowej, ale ostateczny wynik będzie błędny ze względu na popełniony błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.