Układ współrzędnych – zadania (egzamin ósmoklasisty)

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zwróć uwagę, że odcinek \(SW\) składa się z trzech odcinków o jednakowej. Taka sama odległość jest między punktami \(R\) oraz \(T\) (tu także mamy trzy odcinki tej samej miary). Skoro tak, to możemy obliczyć różnicę między współrzędnymi punktów \(S\) oraz \(W\) i będzie ona identyczna jak między \(R\) oraz \(T\):
$$311-287=24$$

Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że różnica między punktami \(S\) oraz \(W\) wynosi \(24\). Między tymi punktami mamy trzy odcinki o jednakowej długości, czyli każdy taki mały odcinek ma długość równą \(24:3=8\).

Między punktem \(R\) oraz \(S\) mamy dwa odcinki, a każdy odcinek ma długość \(8\). To oznacza, że odległość między punktami \(R\) oraz \(S\) wynosi \(2\cdot8=16\). Skoro tak, to współrzędna punktu \(R\) będzie równa:
$$287-16=271$$

Drugie zdanie jest więc prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka odcinka.
Środek odcinka \(KL\) (nazwijmy go \(S\)) obliczymy korzystając ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{K}+x_{L}}{2};\frac{y_{K}+y_{L}}{2}\right)$$

Podstawiając współrzędne punktu \(K\) oraz \(L\) otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-17+15}{2};\frac{6+(-4)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2}{2};\frac{2}{2}\right) \\
S=(-1;1)$$

Krok 2. Umiejscowienie środka odcinka w układzie współrzędnych.
Skoro współrzędne środka odcinka wynoszą \(S=(-1;1)\), to oznacza że nasz środek musi się znaleźć w tej ćwiartce, która jest zaprezentowana w drugiej odpowiedzi.

C

Odcinek \(AB\) ma \(5\) jednostek (\(5\) kratek), natomiast odcinek \(AC\) ma długość \(8\) jednostek. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy więc zapisać, że:
$$5^2+8^2=|AC|^2 \\
25+64=|AC|^2 \\
|AC|^2=89 \\
|AC|=\sqrt{89} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{89}$$

Długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|AC|=\sqrt{89}\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\).
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni trójkąta \(PAB\). Widzimy wyraźnie (licząc po kratkach), że podstawa tego trójkąta ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (wysokość to w tym przypadku odległość od wierzchołka \(B\) do osi iksów). To oznacza, że pole tego trójkąta jest równe:
$$P_{PAB}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAB}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAB}=10,5$$

Teraz obliczmy pole trójkąta \(PAC\). Tutaj także podstawa ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (jest to odległość od wierzchołka \(C\) do osi iksów). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P_{PAC}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAC}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAC}=10,5$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z obliczeń wykonanych w pierwszym kroku wynika, że faktycznie pola powierzchni tych dwóch trójkątów są sobie równe, zatem to zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\), zatem:
$$P_{ABC}=P_{PAB}+P_{PAC} \\
P_{ABC}=10,5+10,5 \\
P_{ABC}=21$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

D

Skorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Z treści zadania wiemy, że:
\(x_{S}=3\)
\(y_{S}=2\)
\(x_{A}=5\)
\(y_{A}=5\)

Podstawiając te dane do wzorów wyznaczymy współrzędne punktu \(B=(x_{B};y_{B})\).
$$3=\frac{5+x_{B}}{2} \\
6=5+x_{B} \\
x_{B}=1$$

$$2=\frac{5+y_{B}}{2} \\
4=5+y_{B} \\
y_{B}=-1$$

Zatem nasz punkt \(B\) ma współrzędne \(B=(1;-1)\).

Punkt \(P\) może mieć współrzędne \(P=(-8;10)\), \(P=(10;4)\) lub \(P=(1;7)\).

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zadanie nie precyzuje który punkt jest środkiem odcinka, a który jest punktem krańcowym odcinka. W związku z tym każdy z trzech punktów \(K, M, P\) może być środkiem naszego odcinka. Musimy więc rozważyć każdy z trzech wariantów
- punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(PM\)
- punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(PK\)
- punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(KM\)


Naszym zadaniem jest więc obliczenie współrzędnych punktu \(P\) w każdym z tych trzech przypadków. Do obliczeń współrzędnych punktu \(P\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(K\) jest środkiem odcinka.
Skoro \(K=(–2,8)\), to znaczy że:
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$-2=\frac{x+4}{2} \\
-4=x+4 \\
x=-8$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$8=\frac{y+6}{2} \\
16=y+6 \\
y=10$$

Zatem \(P=(-8;10)\).

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(M\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$4=\frac{x-2}{2} \\
8=x-2 \\
x=10$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$6=\frac{y+8}{2} \\
12=y+8 \\
y=4$$

Zatem \(P=(10;4)\).

Krok 3. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(P\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$x=\frac{-2+4}{2} \\
x=\frac{2}{2} \\
x=1$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$y=\frac{8+6}{2} \\
y=\frac{14}{2} \\
y=7$$

Zatem \(P=(1;7)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozważysz tylko jedną sytuację (Krok 1. lub Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy rozważysz wszystkie trzy możliwości, ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.

A

Skoro zaznaczone wierzchołki nie należą do tego samego boku, to znaczy że odcinek \(MP\) jest przekątną naszego kwadratu. Pierwszy brakujący wierzchołek znajdzie się więc w punkcie \(N=(2, -2)\), drugi w punkcie \(S=(-1, 1)\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę \(120°\). Wykorzystując własności kątów możemy sobie narysować następujący szkic:


Wiemy, że kąt \(BAK\) ma miarę \(60°\), bo jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). To z kolei oznacza, że powstał nam klasyczny trójkąt o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\) z którego własności musimy teraz skorzystać.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BK\).
Zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że długość odcinka \(AB\) jest dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|AB|=2:2=1$$

Dłuższa przyprostokątna jest o \(\sqrt{3}\) razy większa od krótszej przyprostokątnej, zatem:
$$|BK|=a\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(K\).
Współrzędną iksową stanowi suma długości boku sześcianu oraz długości dolnej podstawy trójkąta, zatem:
$$x=2+1=3$$

Współrzędna iksowa jest równa długości odcinka \(BK\), zatem:
$$y=\sqrt{3}$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(K\) są następujące:
$$K=(3;\sqrt{3})$$