Układ współrzędnych – zadania (egzamin ósmoklasisty)

Punkt \(P\) może mieć współrzędne \(P=(-8;10)\), \(P=(10;4)\) lub \(P=(1;7)\).

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zadanie nie precyzuje który punkt jest środkiem odcinka, a który jest punktem krańcowym odcinka. W związku z tym każdy z trzech punktów \(K, M, P\) może być środkiem naszego odcinka. Musimy więc rozważyć każdy z trzech wariantów
- punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(PM\)
- punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(PK\)
- punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(KM\)


Naszym zadaniem jest więc obliczenie współrzędnych punktu \(P\) w każdym z tych trzech przypadków. Do obliczeń współrzędnych punktu \(P\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(K\) jest środkiem odcinka.
Skoro \(K=(–2,8)\), to znaczy że:
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$-2=\frac{x+4}{2} \\
-4=x+4 \\
x=-8$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$8=\frac{y+6}{2} \\
16=y+6 \\
y=10$$

Zatem \(P=(-8;10)\).

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(M\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$4=\frac{x-2}{2} \\
8=x-2 \\
x=10$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$6=\frac{y+8}{2} \\
12=y+8 \\
y=4$$

Zatem \(P=(10;4)\).

Krok 3. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(P\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$x=\frac{-2+4}{2} \\
x=\frac{-2}{2} \\
x=-1$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$y=\frac{8+6}{2} \\
y=\frac{14}{2} \\
y=7$$

Zatem \(P=(1;7)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozważysz tylko jedną sytuację (Krok 1. lub Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy rozważysz wszystkie trzy możliwości, ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.

D

Skorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Z treści zadania wiemy, że:
\(x_{S}=3\)
\(y_{S}=2\)
\(x_{A}=5\)
\(y_{A}=5\)

Podstawiając te dane do wzorów wyznaczymy współrzędne punktu \(B=(x_{B};y_{B})\).
$$3=\frac{5+x_{B}}{2} \\
6=5+x_{B} \\
x_{B}=1$$

$$2=\frac{5+y_{B}}{2} \\
4=5+y_{B} \\
y_{B}=-1$$

Zatem nasz punkt \(B\) ma współrzędne \(B=(1;-1)\).

A

Skoro zaznaczone wierzchołki nie należą do tego samego boku, to znaczy że odcinek \(MP\) jest przekątną naszego kwadratu. Pierwszy brakujący wierzchołek znajdzie się więc w punkcie \(N=(2, -2)\), drugi w punkcie \(S=(-1, 1)\).

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę \(120°\). Wykorzystując własności kątów możemy sobie narysować następujący szkic:


Wiemy, że kąt \(BAK\) ma miarę \(60°\), bo jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). To z kolei oznacza, że powstał nam klasyczny trójkąt o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\) z którego własności musimy teraz skorzystać.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BK\).
Zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że długość odcinka \(AB\) jest dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|AB|=2:2=1$$

Dłuższa przyprostokątna jest o \(\sqrt{3}\) razy większa od krótszej przyprostokątnej, zatem:
$$|BK|=a\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(K\).
Współrzędną iksową stanowi suma długości boku sześcianu oraz długości dolnej podstawy trójkąta, zatem:
$$x=2+1=3$$

Współrzędna iksowa jest równa długości odcinka \(BK\), zatem:
$$y=\sqrt{3}$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(K\) są następujące:
$$K=(3;\sqrt{3})$$