Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2023

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3n(n^2+6n+5)\) lub innej podobnej (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(2\).
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(3\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Rozpisanie liczby.
Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie przed nawias wartości \(3n\) i rozpisanie naszej liczby w następujący sposób:
$$3n^3+18n^2+15n=3n\cdot(n^2+6n+5)$$

Musimy teraz rozbić wyrażenie \(n^2+6n+5\) na postać iloczynową. Jeśli mamy dużą wprawę, to od ręki możemy zapisać, że to będzie równe \((n+1)(n+5)\). Jeśli jednak nie jesteśmy w stanie tego wyznaczyć w pamięci, to możemy zachować się dokładnie tak samo jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-4}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$

To pozwala nam stwierdzić, że:
$$n^2+6n+5=(n-(-5))\cdot(n-(-1))=(n+5)(n+1)$$

Zapisalibyśmy więc, że nasza liczba jest równa:
$$3n\cdot(n+1)(n+5)$$

Dla lepszego zobrazowania możemy to sobie nawet przedstawić w taki oto sposób:
$$3\cdot n\cdot(n+1)\cdot(n+5)$$

Krok 2. Wykazanie podzielności przez \(6\).
Widzimy, że nasza liczba na pewno jest podzielna przez \(3\) (świadczy o tym ta trójka, która stoi na samym początku). Powinniśmy teraz dostrzec, że \(n\cdot(n+1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Taka liczba jest zatem parzysta, czyli podzielna przez \(2\). Wniosek z tego płynie taki, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i \(2\) jednocześnie, a to oznacza, że będzie także podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-1)(3x-2)=0\)
2 pkt
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-1)(x+1)(3x-2)=0\)
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3x^3-2x^2-3x+2=0 \\
x^2(3x-2)-1(3x-2)=0 \\
(x^2-1)\cdot(3x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad 3x-2=0 \\
x^2=1 \quad\lor\quad 3x=2 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty,2\rangle\), co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Dobrze to widać na poniższym rysunku:


Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy \(a\lt0\). Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.

Krok 2. Wybór wzorów funkcji.
Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli \(A(x)\), \(C(x)\) oraz \(F(x)\). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa \(2\). Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której \(q=2\).

\(A(x)=-(x-3)^2+2\)
Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że \(q=2\). Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.

\(C(x)=-5(x-2)^2\)
Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako \(C(x)=-5(x-2)^2+0\). Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna \(q=0\), co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,0\rangle\). Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.

\(F(x)=-2x^2+4x\)
Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat \(2\). W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Obliczmy najpierw deltę.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot0=16-0=16$$

W takim razie:
$$q=\frac{-16}{4\cdot(-2)} \\
q=\frac{-16}{-8} \\
q=2$$

To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca własność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2} \\
x^2=\frac{2x^2+5x+20}{2} \\
2x^2=2x^2+5x+20 \\
0=5x+20 \\
-20=5x \\
x=-4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość \(x=2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trapezu \(h=2\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.

Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
$$x=4:2 \\
x=2$$

Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
$$a=2+6+2 \\
a=10$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna:


W takim razie interesujący nas kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.
Zgodnie ze szkicem z pierwszego kroku możemy stwierdzić, że dłuższa przekątna jest dwa razy dłuższa od krawędzi sześcianu, czyli ma ona długość:
$$d=2\cdot6=12$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Spoglądamy na rysunek szkicowy graniastosłupa i na kluczowy trójkąt prostokątny, który został tam zaznaczony. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$12^2+6^2=s^2 \\
144+36=s^2 \\
s^2=180 \\
s=\sqrt{180} \quad\lor\quad s=-\sqrt{180}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(s=\sqrt{180}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.
Cosinus to stosunek długość przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}} \\
cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest bez zwracania (czyli pierwsze losowanie jest spośród pięciu liczb, a drugie już tylko spośród czterech). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by obydwie wylosowane liczby były nieparzyste. Takich par nie jest dużo, możemy je nawet wypisać:
$$(1;3), (1;5) \\
(3;1), (3;5) \\
(5;1), (5;3)$$

To oznacza, że tylko sześć par spełnia warunki zadania, stąd też możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:
$$Z(x)=P(x)-K(x) \\
Z(x)=196x-(4x^2+4x+240) \\
Z(x)=196x-4x^2-4x-240 \\
Z(x)=-4x^2+192x-240$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.


Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=−4\) oraz \(b=192\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-192}{2\cdot(-4)} \\
p=\frac{-192}{-8} \\
p=24$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=24\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;30\rangle\) (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(24\) krzeseł dziennie.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa \(x=24\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=24\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-4x^2+192x-240\). Prostsza jest chyba ta druga metoda, zatem:
$$Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot576+4608-240 \\
Z(24)=-2304+4608-240 \\
Z(24)=2064$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(2064\) złotych.