Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x+32=2y \quad\bigg/-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x=2y-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \\
\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$

Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \\
34y-646=8y-48 \\
26y=598 \\
y=23$$

Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x+32}{23}=2 \\
x+32=46 \\
x=14$$

Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).