Matura – Matematyka – Maj 2012

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Zadanie obliczymy tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=15\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-2}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+2}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-5\) oraz \(x=-3\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;-5)\cup(-3;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy przekształcisz podaną nierówność do postaci typu \(2c\gt a+b\) (patrz: Krok 1.), albo \((c-a)+(c-b)\gt0\) albo \(\frac{-a-b+2c}{6}\gt0\), albo jakiejkolwiek innej podobnej i nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Spróbujmy przekształcić tę nierówność, tak aby móc wyciągnąć z niej jakieś wnioski. Zacznijmy od usunięcia postaci ułamka:
$$\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
2a+2b+2c\gt3a+3b \\
2c\gt a+b \\
c+c\gt a+b$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej nierówności.
Skoro liczba \(c\) jest największa spośród wszystkich niewiadomych, to możemy być pewni, że para liczb \(c+c\) jest większa od pary liczb \(a+b\). Dowód można uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przedstawisz wielomian w formie jakiegoś iloczynu np. \((x^2-9)(x+4)=0\) (patrz: Krok 1.) lub \((x-3)(x+3)(x+4)\) lub \((x^2+x-12)(x+3)\) itd.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie wspólnych części przed nawias.
Z pierwszych dwóch wyrazów tego wielomianu możemy wyłączyć przed nawias wartość \(x^2\). Z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-9\). Zatem:
$$x^3+4x^2-9x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x^2-9)(x+4)=0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4$$

Porównując otrzymane wyniki okazuje się, że trzecim pierwiastkiem tego wielomianu (który nie znalazł się w treści zadania) jest \(x_{3}=-3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a=2\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 1) oraz podasz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, czyli \(a=-\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(0;6)\) (patrz: Krok 2).
ALBO
• Gdy narysujesz układ współrzędnych i z niego odczytasz współrzędne środka odcinka \(AB\) i współczynnik kierunkowy \(a=2\) prostej \(AB\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (dopuszczalna jest także forma w postaci ogólnej \(x+2y-12=0\)).

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases}
2=-2a+b \\
10=2a+b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a \\
a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy jeszcze wyliczyć współczynnik \(b\) z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b \\
2=-4+b \\
b=6$$

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) opisana jest wzorem w postaci: \(y=2x+6\).

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka \(AB\) obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right) \\
S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right) \\
S=(0;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.
Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=2\), to nasza symetralna ma na pewno współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot-\frac{1}{2}=-1\)). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt \(S=(0;6)\). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik \(b\) tej prostej prostopadłej, bo współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\). Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że \(b=6\). Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik \(b\) możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+b\), czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b \\
6=0+b \\
b=6$$

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek, wprowadzisz sensowne oznaczenia kątów wykorzystując własności dwusiecznych (patrz: Krok 1) i zapiszesz poprawnie sumę kątów w trójkącie \(ABC\) np. \(2α+2β+δ=180°\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie \(APB\):
$$|\sphericalangle PAB|=α \\
|\sphericalangle PBA|=β \\
|\sphericalangle APB|=γ$$

Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także:
$$|\sphericalangle PAB|=α \\
|\sphericalangle PBC|=β$$

No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt:
$$|\sphericalangle ACB|=δ$$



Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności.
Suma kątów trójkąta \(ABC\) jest równa \(180°\). Czyli:
$$2α+2β+δ=180°$$

Kąt \(δ\) jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów \(2α+2β\) jest mniejsza od \(180°\). Matematycznie możemy to zapisać jako:
$$2α+2β\lt180° \quad\bigg/:2 \\
α+β\lt90°$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów \(α+β<90°\). Spójrzmy teraz na mały trójkąt \(APB\). Tutaj suma kątów \(α+β+γ=180°\). Skoro suma \(α+β\) jest mniejsza od \(90°\), to kąt \(γ\) musi mieć więcej niż \(90°\) i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Ważną informacją jest to, że losujemy liczby ze zwracaniem. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy jedną z siedmiu liczb i w drugim także mamy możliwość trafienia na jedną z siedmiu liczb. Łączną liczbę zdarzeń elementarnych wyznaczymy więc regułą mnożenia:
$$|Ω|=7\cdot7=49$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Szukamy par liczb, których iloczyn będzie podzielny przez \(6\). Najbezpieczniej jest wypisywać sobie wszystkie możliwe kombinacje w jak najbardziej uporządkowany sposób:
$$(1,6) \\
(2,3),(2,6) \\
(3,2),(3,4),(3,6) \\
(4,3),(4,6) \\
(5,6) \\
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7) \\
(7,6)$$

Takich par jest więc \(|A|=17\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{17}{49}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie pomylisz własności ciągów.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego np. \(x=\frac{9+19}{2}\) albo wręcz obliczysz wartość \(x=14\) (patrz: Krok 1).
ALBO
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu geometrycznego np. \(42^2=xy\) albo \(y^2=42z\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równania wykorzystujące zarówno własności ciągu arytmetycznego jak i geometrycznego, ale nie powiążesz ich ze sobą i przez to nie rozwiążesz całego zadania.
3 pkt
• Gdy obliczysz iloraz \(q\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz niewiadomą \(y\) (patrz: Krok 3.), ale nie obliczysz niewiadomej \(z\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{9+19}{2} \\
x=\frac{28}{2} \\
x=14$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{42}{14} \\
q=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \\
y=14\cdot3^2 \\
y=14\cdot9=126 \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \\
z=14\cdot3^3 \\
z=14\cdot27=378$$

Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).

Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.), ale jedna z otrzymanych wartości będzie błędna w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz objętość ostrosłupa zapominając o tym, że we wzorze jest mnożenie przez \(\frac{1}{3}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\
|AE|=4\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases}
vt=210 \\
(v-24)(t+1)=210
\end{cases}

Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210 \\
210+\frac{210}{t}-24t-24=210 \\
\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t \\
210-24t^2-24t=0 \\
-24t^2-24t+210=0$$

Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$

Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.