Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasze równanie jest już przedstawione w postaci ogólnej, zatem możemy wypisać sobie jego współczynniki, odczytując bezpośrednio jakie liczby znalazły się przed \(x^2\), przed \(x\) oraz w wyrazie wolnym:
Współczynniki: \(a=2,\;b=7,\;c=6\)

Współczynniki mamy odczytane, zatem możemy przejść do obliczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=7^2-4\cdot2\cdot6 \\
Δ=49-48=1$$

Wiemy już, że \(Δ=1\), więc zgodnie z instrukcją musimy obliczyć pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

Mamy już obliczony pierwiastek, zatem możemy przystąpić do obliczenia rozwiązań naszego równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-1}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+1}{2\cdot2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są dwie liczby: \(x=-2 \;\lor\; x=-\frac{3}{2}\). Gdybyśmy chcieli się upewnić, to zawsze możemy otrzymane rozwiązania podstawić do równania i sprawdzić, czy lewa strona będzie równa prawej.

Tutaj także równanie mamy przedstawione już w postaci ogólnej, zatem możemy wypisać współczynniki. No i tutaj właśnie mamy pierwszy dylemat, czyli jaki jest współczynnik \(a\), skoro przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba. Jeżeli przed \(x^2\) lub przed \(x\) nie stoi żadna liczba, to domyślnie znajduje się tam jedynka. To tak jakby to równanie było zapisane jako \(1x^2-4x+3=0\). W związku z tym:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=3\)

Przechodzimy teraz do obliczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-4)^2-4\cdot1\cdot3 \\
Δ=16-12=4$$

Delta obliczona, więc czas na pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

I teraz możemy obliczyć rozwiązania naszego równania (uważając na znaki, szczególnie przy współczynniku \(b\)):
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2}{2\cdot1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2}{2\cdot1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Obliczyliśmy w ten sposób, że nasze równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: \(x=1 \;\lor\; x=3\).

Ustalmy na początku, czy jest to postać ogólna. Tym razem równanie nie jest przedstawione w postaci ogólnej, bo nie mamy tutaj po prawej stronie zera. To oznacza, że zanim cokolwiek zaczniemy liczyć, to musimy przenieść wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę:
$$x^2=5x-6 \\
x^2-5x+6=0$$

Dopiero w tym momencie możemy wypisywać współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)

Czas na obliczenie delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-5)^2-4\cdot1\cdot6 \\
Δ=25-24=1$$

Teraz obliczamy pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

Znając pierwiastek, możemy przejść do obliczenia rozwiązań równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=2 \;\lor\; x=3\).

Równanie jest przedstawione w postaci ogólnej, zatem wypisujemy współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)

Teraz możemy obliczyć deltę:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-2)^2-4\cdot1\cdot1 \\
Δ=4-4=0$$

Delta wyszła nam równa zero, a to oznacza, że będziemy mieć tylko jedno rozwiązanie. Jest to całkiem logiczne, bo przecież jak teraz byśmy obliczyli pierwiastek z delty, to także otrzymalibyśmy zero, więc we wzorach na \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) wyszłyby nam te same wyniki:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-0}{2\cdot1}=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+0}{2\cdot1}=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Z tego też względu, kiedy delta jest równa zero, to możemy po prostu pominąć ten pierwiastek z delty i obliczyć jedyne rozwiązanie ze wzoru:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Finalnie wyszło nam, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=1\).

Ustalmy najpierw, czy równanie jest w postaci ogólnej. To równanie akurat nie jest, bo po prawej stronie mamy piątkę zamiast zera. Musimy więc obustronnie odjąć pięć, otrzymując postać ogólną:
$$-3x^2+x=5 \quad\bigg/-5 \\
-3x^2+x-5=0$$

Teraz mając postać ogólną możemy wypisać współczynniki:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=1,\;c=-5\)

Znając współczynniki przechodzimy do liczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=1^2-4\cdot(-3)\cdot(-5) \\
Δ=1-60=-59$$

Delta wyszła nam ujemna, a to oznacza, że równanie nie ma żadnych rozwiązań. Krótko mówiąc, jakiejkolwiek liczby byśmy do naszego równania nie podstawili, to zawsze lewa strona będzie inna niż prawa.

Ustalmy sobie, czy to równanie jest przedstawione w postaci ogólnej. Jak najbardziej jest, mimo iż brakuje tutaj samodzielnej wartości \(x\). Po prostu skoro nie mamy samodzielnego iksa, to w tym konkretnym przypadku współczynnik \(b\) jest równy \(0\). Gdybyśmy chcieli więc obliczyć to równanie za pomocą delty, to otrzymalibyśmy:
Współczynniki: \(a=1,\;b=0,\;c=-4\)

$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=0^2-4\cdot1\cdot(-4) \\
Δ=0-(-16)=0+16=16$$

$$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0-4}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0+4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Wyszło nam więc, że równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-2 \;\lor\; x=2\).

Zastanówmy się jednak, czy tego konkretnego przykładu \(x^2-4=0\) nie dałoby się policzyć nieco prościej. Gdybyśmy przenieśli tę czwórkę na drugą stronę to otrzymalibyśmy równanie:
$$x^2-4=0 \\
x^2=4$$

Musimy więc odpowiedzieć na pytanie – jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam wynik równy \(4\). Z działu potęg powinniśmy wiedzieć, że zarówno \(2^2=4\) jak i \((-2)^2=4\). Jest to więc jeden z tych przykładów, gdzie jesteśmy w stanie samodzielnie stwierdzić, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=2 \;\lor\; x=-2\).

Jeżeli więc funkcja zapisana jest w postaci ogólnej i jej współczynnik \(b\) jest równy \(0\), to warto spróbować policzyć to równanie w pamięci, pamiętając o tym by zapisać dwa rozwiązania.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że aby poznać rozwiązania tego równania to trzeba liczyć deltę. Faktycznie, można to zrobić, pamiętając o tym że tutaj także współczynnik \(b=0\). Jednak możemy to nasze równanie rozwiązać identycznie jak to poprzednie, przenosząc dziesiątkę na prawą stronę:
$$2x^2-10=0 \\
2x^2=10 \quad\bigg/:2 \\
x^2=5$$

Czy jesteśmy w stanie stwierdzić jaka liczba podniesiona do kwadratu da wynik \(5\)? Nie jest to liczba całkowita, ale z działu potęg i pierwiastków wiemy, że \((\sqrt{5})^2=5\) oraz \((-\sqrt{5})^2=5\), zatem tutaj także jesteśmy w stanie bez liczenia delty stwierdzić, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{5} \;\lor\; x=-\sqrt{5}\).

Przenieśmy na początek wszystkie wyrazy na lewą stronę, upraszczając przy okazji cały zapis:
$$2x^2+27=x^2+18 \\
x^2+9=0$$

Otrzymaliśmy bardzo podobną sytuację co w poprzednich przykładach. Tutaj także możemy obliczyć deltę, pamiętając że współczynnik \(b=0\), ale możemy ponownie przenieść liczbę na drugą stronę, próbując rozwiązać równanie w pamięci:
$$x^2+9=0 \\
x^2=-9$$

Teraz zastanówmy się, czy istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która jest rozwiązaniem tego równania. Jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do kwadratu, to przecież otrzymamy wartość dodatnią lub równą zero. Nie jest więc możliwe, żeby podnosząc do kwadratu jakaś liczbę otrzymać wynik \(-9\). To oznacza, że to nasze równanie nie ma rozwiązań, gdyż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik równy \(-9\).

Licząc deltę z równania \(x^2+9=0\) doszlibyśmy do tego samego wniosku, bowiem tutaj delta wyjdzie ujemna, co świadczy o braku rozwiązań równania:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=0^2-4\cdot1\cdot9 \\
Δ=0-36=-36$$

Tym razem mamy równanie kwadratowe w którym nie mamy wolnego wyrazu, zatem współczynnik \(c=0\). Możemy to zadanie rozwiązać tradycyjnie deltą, ale możemy też postąpić nieco sprytniej i wyłączyć iksa przed nawias:
$$x^2-3x=0 \\
x\cdot(x-3)=0$$

Co nam daje taki zapis? Zastanówmy się kiedy \(x\cdot(x-3)\) będzie równe \(0\). Aby z mnożenia otrzymać zero, to jeden z czynników mnożenia musi być równy zero. (np. \(5\cdot0=0\)). W naszej sytuacji czynnikami są \(x\) oraz \(x-3\), a więc jedna z tych wartości musi być równa \(0\), aby całe mnożenie było równe \(0\). Możemy więc zapisać, że:
$$x\cdot(x-3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

W ten oto sprytny sposób udało nam się obliczyć, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=0 \;\lor\; x=3\).

Możemy to równanie zapisać w postaci ogólnej jako \(3x^2-6x=0\) i obliczyć deltę, pamiętając że tutaj także współczynnik \(c=0\). Możemy jednak zastosować dokładnie ten sam mechanizm co w przykładzie wcześniejszym:
$$3x^2=6x \\
3x^2-6x=0 \quad\bigg/:3 \\
x^2-2x=0 \\
x(x-2)=0$$

Aby to równanie dało wynik równy \(0\), to któryś z czynników musi być równy \(0\), zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Otrzymaliśmy zatem dwa rozwiązania: \(x=0 \;\lor\; x=2\).

Ustalmy na początek, czy to w ogóle jest równanie kwadratowe, bo tak na pierwszy rzut oka nigdzie nie widzimy iksa podniesionego do kwadratu. Jest to jak najbardziej równanie kwadratowe tylko że zapisane w tak zwanej postaci iloczynowej. Jakbyśmy wymnożyli nawiasy to otrzymamy dowód na to, że jest to równanie kwadratowe:
$$(x-5)(x+3)=0 \\
x^2+3x-5x-15=0 \\
x^2-2x-15=0$$

Po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu zapisu otrzymujemy postać ogólną równania kwadratowego z której to możemy teraz standardowo liczyć deltę. Jednak liczenie delty w takim zadaniu nie jest konieczne. Ten konkretny przykład możemy (a nawet powinniśmy) rozwiązać zupełnie inaczej.

Wróćmy do postaci iloczynowej \((x-5)(x+3)=0\). Zastanówmy się co się musi stać, aby wartość \((x-5)(x+3)\) była równa \(0\). Aby całość była równa \(0\), to nie ma innego wyjścia – któryś z nawiasów musi być zerem. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-3$$

W ten oto sposób (bez liczenia delty) wyznaczyliśmy rozwiązania naszego równania: \(x=5 \;\lor\; x=-3\).

Po raz kolejny mamy postać iloczynową, zatem nie ma sensu wymnażać nawiasów i liczyć deltę. Aby całość była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być zerem, zatem:
$$3x-6=0 \quad\lor\quad 2x-5=0 \\
3x=6 \quad\lor\quad 2x=5 \\
x=2 \quad\lor\quad x=\frac{5}{2}$$

W bardzo szybki sposób wyszło nam, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=2 \;\lor\; x=\frac{5}{2}\).

Po raz kolejny równanie zapisane jest w postaci iloczynowej, więc nie ma potrzeby wymnażać nawiasów i liczyć delty. To co jest nowością względem poprzednich przykładów to trójka, która znalazła się przed nawiasami. Czy w jakiś sposób wpływa ona na rozwiązanie? Okazuje się że nie, bo tak naprawdę możemy obustronnie podzielić to równanie przez \(3\) i otrzymamy wtedy \((x-1)(x+\sqrt{2})=0\). To z kolei oznacza, że sposób postępowania jest cały czas taki sam – aby równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi być zerem, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+\sqrt{2}=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Dzięki postaci iloczynowej bardzo szybko obliczyliśmy, że rozwiązaniami równania są: \(x=1 \;\lor\; x=-\sqrt{2}\).

W takich sytuacjach idea rozwiązywania jest identyczna jak w przypadku postaci iloczynowej – aby równanie było równe \(0\), to wartość w nawiasie musi być równa \(0\). Zresztą to równanie można byłoby rozpisać jako \((x-4)(x-4)=0\) i już nie powinniśmy mieć wątpliwości, że ten sposób rozwiązywania jest prawidłowy. W związku z tym:
$$x-4=0 \\
x=4$$

To równanie ma tylko jedno rozwiązanie, czyli \(x=4\).

Czy jest to równanie w postaci iloczynowej? Gdyby po prawej stronie zamiast jedynki było \(0\), to faktycznie byłaby to postać iloczynowa. Skoro jednak jest po prawej stronie jedynka, to tutaj nie będziemy mieli wyjścia – musimy przenieść jedynkę na lewą stronę, wymnożyć nawiasy i całość obliczyć z delty:
$$(x+1)(x+2)=1 \\
(x+1)(x+2)-1=0 \\
x^2+2x+x+2-1=0 \\
x^2+3x+1=0$$

Wypisujemy współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=1\)

Teraz obliczamy deltę oraz pierwiastek z delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=3^2-4\cdot1\cdot1 \\
Δ=9-4=5$$

$$\sqrt{Δ}=\sqrt{5}$$

I na sam koniec obliczamy rozwiązania równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$$

Otrzymaliśmy zatem dwa rozwiązania: \(x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \;\lor\; \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\).