Rozwiązywanie równań kwadratowych

Rozwiązywanie równań kwadratowych odbywa się zazwyczaj przy wykorzystaniu tak zwanej delty. Jest to bardzo uniwersalna metoda i każde równanie kwadratowe możemy w ten sposób rozwiązać, choć w szczególnych przypadkach będziemy mogli rozwiązać równanie kwadratowe w nieco szybszy sposób, ale o tym za chwilę.

Omówmy sobie ogólny proces rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą delty:
1. Musimy doprowadzić nasze równanie do postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c=0\). Krótko mówiąc musimy doprowadzić do zapisu w stylu \(2x^2+7x+6=0\).
2. Kiedy mamy już taką postać ogólną, to musimy z niej odczytać tak zwane współczynniki \(a,b,c\). To są liczby stojące przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyraz wolny. W tym powyższym przypadku \(a=2\) (bo przed \(x^2\) stoi dwójka), \(b=7\) (bo przed \(x\) stoi siódemka) oraz \(c=6\) (bo wolny wyraz bez niewiadomej jest szóstką).
3. Musimy obliczyć tak zwaną deltę, którą wyznaczamy ze wzoru \(Δ=b^2-4ac\), gdzie \(a,b,c\) to są współczynniki które przed chwilą wypisaliśmy.
4. Kiedy mamy wyliczoną deltę, to musimy obliczyć pierwiastek z jej wartości.
5. Musimy obliczyć rozwiązania, korzystając ze wzoru \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\) oraz \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\).

W szczególnych przypadkach (o których powiemy sobie w kolejnych przykładach) będziemy mogli nasze obliczenia uprościć, czasem nawet damy radę coś wyliczyć w pamięci, ale sposób z deltą jest zawsze niezawodny.

Przykład 1. Rozwiąż równanie \(2x^2+7x+6=0\).

Nasze równanie jest już przedstawione w postaci ogólnej, zatem możemy wypisać sobie jego współczynniki, odczytując bezpośrednio jakie liczby znalazły się przed \(x^2\), przed \(x\) oraz w wyrazie wolnym:
Współczynniki: \(a=2,\;b=7,\;c=6\)

Współczynniki mamy odczytane, zatem możemy przejść do obliczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=7^2-4\cdot2\cdot6 \\
Δ=49-48=1$$

Wiemy już, że \(Δ=1\), więc zgodnie z instrukcją musimy obliczyć pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

Mamy już obliczony pierwiastek, zatem możemy przystąpić do obliczenia rozwiązań naszego równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-1}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+1}{2\cdot2}=\frac{-6}{2}=-3$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są dwie liczby: \(x=-2 \;\lor\; x=-3\). Gdybyśmy chcieli się upewnić, to zawsze możemy otrzymane rozwiązania podstawić do równania i sprawdzić, czy lewa strona będzie równa prawej.

Przykład 2. Rozwiąż równanie \(x^2-4x+3=0\).

Tutaj także równanie mamy przedstawione już w postaci ogólnej, zatem możemy wypisać współczynniki. No i tutaj właśnie mamy pierwszy dylemat, czyli jaki jest współczynnik \(a\), skoro przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba. Jeżeli przed \(x^2\) lub przed \(x\) nie stoi żadna liczba, to domyślnie znajduje się tam jedynka. To tak jakby to równanie było zapisane jako \(1x^2-4x+3=0\). W związku z tym:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=3\)

Przechodzimy teraz do obliczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-4)^2-4\cdot1\cdot3 \\
Δ=16-12=4$$

Delta obliczona, więc czas na pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

I teraz możemy obliczyć rozwiązania naszego równania (uważając na znaki, szczególnie przy współczynniku \(b\)):
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2}{2\cdot1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2}{2\cdot1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Obliczyliśmy w ten sposób, że nasze równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: \(x=1 \;\lor\; x=3\).

Przykład 3. Rozwiąż równanie \(x^2=5x-6\).

Ustalmy na początku, czy jest to postać ogólna. Tym razem równanie nie jest przedstawione w postaci ogólnej, bo nie mamy tutaj po prawej stronie zera. To oznacza, że zanim cokolwiek zaczniemy liczyć, to musimy przenieść wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę:
$$x^2=5x-6 \\
x^2-5x+6=0$$

Dopiero w tym momencie możemy wypisywać współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)

Czas na obliczenie delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-5)^2-4\cdot1\cdot6 \\
Δ=25-24=1$$

Teraz obliczamy pierwiastek z delty:
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

Znając pierwiastek, możemy przejść do obliczenia rozwiązań równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=2 \;\lor\; x=3\).

Już po pierwszych przykładach widzimy, że równanie kwadratowe będzie mieć zazwyczaj dwa rozwiązania. Ale czy tak będzie zawsze? Faktycznie, większość przypadków będzie mieć dwa rozwiązania, ale może zdarzyć się sytuacja w której będziemy mieć tylko jedno rozwiązanie lub wcale. O tym ile jest rozwiązań równania kwadratowego mówi nam obliczona delta. Jeżeli delta jest większa od zera (a tak było w dotychczasowych przykładach) to równanie ma zawsze dwa rozwiązania. Jeżeli delta będzie równa zero, to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie. W momencie gdy delta będzie ujemna, to równanie nie będzie mieć rozwiązań.

Przykład 4. Rozwiąż równanie \(x^2-2x+1=0\).

Równanie jest przedstawione w postaci ogólnej, zatem wypisujemy współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)

Teraz możemy obliczyć deltę:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=(-2)^2-4\cdot1\cdot1 \\
Δ=4-4=0$$

Delta wyszła nam równa zero, a to oznacza, że będziemy mieć tylko jedno rozwiązanie. Jest to całkiem logiczne, bo przecież jak teraz byśmy obliczyli pierwiastek z delty, to także otrzymalibyśmy zero, więc we wzorach na \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) wyszłyby nam te same wyniki:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-0}{2\cdot1}=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+0}{2\cdot1}=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Z tego też względu, kiedy delta jest równa zero, to możemy po prostu pominąć ten pierwiastek z delty i obliczyć jedyne rozwiązanie ze wzoru:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Finalnie wyszło nam, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=1\).

Przykład 5. Rozwiąż równanie \(-3x^2+x=5\).

Ustalmy najpierw, czy równanie jest w postaci ogólnej. To równanie akurat nie jest, bo po prawej stronie mamy piątkę zamiast zera. Musimy więc obustronnie odjąć pięć, otrzymując postać ogólną:
$$-3x^2+x=5 \quad\bigg/-5 \\
-3x^2+x-5=0$$

Teraz mając postać ogólną możemy wypisać współczynniki:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=1,\;c=-5\)

Znając współczynniki przechodzimy do liczenia delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=1^2-4\cdot(-3)\cdot(-5) \\
Δ=1-60=-59$$

Delta wyszła nam ujemna, a to oznacza, że równanie nie ma żadnych rozwiązań. Krótko mówiąc, jakiejkolwiek liczby byśmy do naszego równania nie podstawili, to zawsze lewa strona będzie inna niż prawa.

Teraz omówimy sobie sytuacje w których da się rozwiązać równanie kwadratowe bez liczenia delty.

Przykład 6. Rozwiąż równanie \(x^2-4=0\).

Ustalmy sobie, czy to równanie jest przedstawione w postaci ogólnej. Jak najbardziej jest, mimo iż brakuje tutaj samodzielnej wartości \(x\). Po prostu skoro nie mamy samodzielnego iksa, to w tym konkretnym przypadku współczynnik \(b\) jest równy \(0\). Gdybyśmy chcieli więc obliczyć to równanie za pomocą delty, to otrzymalibyśmy:
Współczynniki: \(a=1,\;b=0,\;c=-4\)

$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=0^2-4\cdot1\cdot(-4) \\
Δ=0-(-16)=0+16=16$$

$$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0-4}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0+4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Wyszło nam więc, że równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-2 \;\lor\; x=2\).

Zastanówmy się jednak, czy tego konkretnego przykładu \(x^2-4=0\) nie dałoby się policzyć nieco prościej. Gdybyśmy przenieśli tę czwórkę na drugą stronę to otrzymalibyśmy równanie:
$$x^2-4=0 \\
x^2=4$$

Musimy więc odpowiedzieć na pytanie – jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam wynik równy \(4\). Z działu potęg powinniśmy wiedzieć, że zarówno \(2^2=4\) jak i \((-2)^2=4\). Jest to więc jeden z tych przykładów, gdzie jesteśmy w stanie samodzielnie stwierdzić, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=2 \;\lor\; x=-2\).

Jeżeli więc funkcja zapisana jest w postaci ogólnej i jej współczynnik \(b\) jest równy \(0\), to warto spróbować policzyć to równanie w pamięci, pamiętając o tym by zapisać dwa rozwiązania.

Przykład 7. Rozwiąż równanie \(2x^2-10=0\).

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że aby poznać rozwiązania tego równania to trzeba liczyć deltę. Faktycznie, można to zrobić, pamiętając o tym że tutaj także współczynnik \(b=0\). Jednak możemy to nasze równanie rozwiązać identycznie jak to poprzednie, przenosząc dziesiątkę na prawą stronę:
$$2x^2-10=0 \\
2x^2=10 \quad\bigg/:2 \\
x^2=5$$

Czy jesteśmy w stanie stwierdzić jaka liczba podniesiona do kwadratu da wynik \(5\)? Nie jest to liczba całkowita, ale z działu potęg i pierwiastków wiemy, że \((\sqrt{5})^2=5\) oraz \((-\sqrt{5})^2=5\), zatem tutaj także jesteśmy w stanie bez liczenia delty stwierdzić, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{5} \;\lor\; x=-\sqrt{5}\).

Przykład 8. Rozwiąż równanie \(2x^2+27=x^2+18\).

Przenieśmy na początek wszystkie wyrazy na lewą stronę, upraszczając przy okazji cały zapis:
$$2x^2+27=x^2+18 \\
x^2+9=0$$

Otrzymaliśmy bardzo podobną sytuację co w poprzednich przykładach. Tutaj także możemy obliczyć deltę, pamiętając że współczynnik \(b=0\), ale możemy ponownie przenieść liczbę na drugą stronę, próbując rozwiązać równanie w pamięci:
$$x^2+9=0 \\
x^2=-9$$

Teraz zastanówmy się, czy istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która jest rozwiązaniem tego równania. Jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do kwadratu, to przecież otrzymamy wartość dodatnią lub równą zero. Nie jest więc możliwe, żeby podnosząc do kwadratu jakaś liczbę otrzymać wynik \(-9\). To oznacza, że to nasze równanie nie ma rozwiązań, gdyż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik równy \(-9\).

Licząc deltę z równania \(x^2+9=0\) doszlibyśmy do tego samego wniosku, bowiem tutaj delta wyjdzie ujemna, co świadczy o braku rozwiązań równania:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=0^2-4\cdot1\cdot9 \\
Δ=0-36=-36$$

Przykład 9. Rozwiąż równanie \(x^2-3x=0\).

Tym razem mamy równanie kwadratowe w którym nie mamy wolnego wyrazu, zatem współczynnik \(c=0\). Możemy to zadanie rozwiązać tradycyjnie deltą, ale możemy też postąpić nieco sprytniej i wyłączyć iksa przed nawias:
$$x^2-3x=0 \\
x\cdot(x-3)=0$$

Co nam daje taki zapis? Zastanówmy się kiedy \(x\cdot(x-3)\) będzie równe \(0\). Aby z mnożenia otrzymać zero, to jeden z czynników mnożenia musi być równy zero. (np. \(5\cdot0=0\)). W naszej sytuacji czynnikami są \(x\) oraz \(x-3\), a więc jedna z tych wartości musi być równa \(0\), aby całe mnożenie było równe \(0\). Możemy więc zapisać, że:
$$x\cdot(x-3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

W ten oto sprytny sposób udało nam się obliczyć, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=0 \;\lor\; x=3\).

Przykład 10. Rozwiąż równanie \(3x^2=6x\).

Możemy to równanie zapisać w postaci ogólnej jako \(3x^2-6x=0\) i obliczyć deltę, pamiętając że tutaj także współczynnik \(c=0\). Możemy jednak zastosować dokładnie ten sam mechanizm co w przykładzie wcześniejszym:
$$3x^2=6x \\
3x^2-6x=0 \quad\bigg/:3 \\
x^2-2x=0 \\
x(x-2)=0$$

Aby to równanie dało wynik równy \(0\), to któryś z czynników musi być równy \(0\), zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Otrzymaliśmy zatem dwa rozwiązania: \(x=0 \;\lor\; x=2\).

Wszystkie powyższe przykłady związane były z postacią ogólną równania kwadratowego (którą albo otrzymaliśmy na starcie, albo do niej dążyliśmy). Pokazaliśmy sobie też, że w momencie gdy współczynnik \(b\) lub \(c\) jest równy \(0\), to da się dane równanie obliczyć bez liczenia delty. Na zakończenie rozpatrzmy sobie jeszcze jedną sytuację w której to otrzymamy równanie w postaci iloczynowej, która jest zdecydowanie najprzyjemniejsza do rozwiązywania.

Przykład 11. Rozwiąż równanie \((x-5)(x+3)=0\).

Ustalmy na początek, czy to w ogóle jest równanie kwadratowe, bo tak na pierwszy rzut oka nigdzie nie widzimy iksa podniesionego do kwadratu. Jest to jak najbardziej równanie kwadratowe tylko że zapisane w tak zwanej postaci iloczynowej. Jakbyśmy wymnożyli nawiasy to otrzymamy dowód na to, że jest to równanie kwadratowe:
$$(x-5)(x+3)=0 \\
x^2+3x-5x+15=0 \\
x^2-2x+15=0$$

Po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu zapisu otrzymujemy postać ogólną równania kwadratowego z której to możemy teraz standardowo liczyć deltę. Jednak liczenie delty w takim zadaniu nie jest konieczne. Ten konkretny przykład możemy (a nawet powinniśmy) rozwiązać zupełnie inaczej.

Wróćmy do postaci iloczynowej \((x-5)(x+3)=0\). Zastanówmy się co się musi stać, aby wartość \((x-5)(x+3)\) była równa \(0\). Aby całość była równa \(0\), to nie ma innego wyjścia – któryś z nawiasów musi być zerem. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-3$$

W ten oto sposób (bez liczenia delty) wyznaczyliśmy rozwiązania naszego równania: \(x=5 \;\lor\; x=-3\).

Przykład 12. Rozwiąż równanie \((3x-6)(2x-5)=0\).

Po raz kolejny mamy postać iloczynową, zatem nie ma sensu wymnażać nawiasów i liczyć deltę. Aby całość była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być zerem, zatem:
$$3x-6=0 \quad\lor\quad 2x-5=0 \\
3x=6 \quad\lor\quad 2x=5 \\
x=2 \quad\lor\quad x=\frac{5}{2}$$

W bardzo szybki sposób wyszło nam, że rozwiązaniem tego równania są: \(x=2 \;\lor\; x=\frac{5}{2}\).

Przykład 13. Rozwiąż równanie \(3(x-1)(x+\sqrt{2})=0\).

Po raz kolejny równanie zapisane jest w postaci iloczynowej, więc nie ma potrzeby wymnażać nawiasów i liczyć delty. To co jest nowością względem poprzednich przykładów to trójka, która znalazła się przed nawiasami. Czy w jakiś sposób wpływa ona na rozwiązanie? Okazuje się że nie, bo tak naprawdę możemy obustronnie podzielić to równanie przez \(3\) i otrzymamy wtedy \((x-1)(x+\sqrt{2})=0\). To z kolei oznacza, że sposób postępowania jest cały czas taki sam – aby równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi być zerem, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+\sqrt{2}=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Dzięki postaci iloczynowej bardzo szybko obliczyliśmy, że rozwiązaniami równania są: \(x=1 \;\lor\; x=-\sqrt{2}\).

Przykład 14. Rozwiąż równanie \((x-4)^2=0\).

W takich sytuacjach idea rozwiązywania jest identyczna jak w przypadku postaci iloczynowej – aby równanie było równe \(0\), to wartość w nawiasie musi być równa \(0\). Zresztą to równanie można byłoby rozpisać jako \((x-4)(x-4)=0\) i już nie powinniśmy mieć wątpliwości, że ten sposób rozwiązywania jest prawidłowy. W związku z tym:
$$x-4=0 \\
x=4$$

To równanie ma tylko jedno rozwiązanie, czyli \(x=4\).

Przykład 15. Rozwiąż równanie \((x+1)(x+2)=1\).

Czy jest to równanie w postaci iloczynowej? Gdyby po prawej stronie zamiast jedynki było \(0\), to faktycznie byłaby to postać iloczynowa. Skoro jednak jest po prawej stronie jedynka, to tutaj nie będziemy mieli wyjścia – musimy przenieść jedynkę na lewą stronę, wymnożyć nawiasy i całość obliczyć z delty:
$$(x+1)(x+2)=1 \\
(x+1)(x+2)-1=0 \\
x^2+2x+x+2-1=0 \\
x^2+3x+1=0$$

Wypisujemy współczynniki:
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=1\)

Teraz obliczamy deltę oraz pierwiastek z delty:
$$Δ=b^2-4ac \\
Δ=3^2-4\cdot1\cdot1 \\
Δ=9-4=5$$

$$\sqrt{Δ}=\sqrt{5}$$

I na sam koniec obliczamy rozwiązania równania:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$$

Otrzymaliśmy zatem dwa rozwiązania: \(x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \;\lor\; \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\).

Podsumowując rozwiązywanie równań kwadratowych możemy zapisać następujące wnioski:
1. Rozwiązując równania kwadratowe za pomocą delty musimy doprowadzić zapis równania do postaci ogólnej (uważając w szczególności na to, by po prawej stronie było zero).
2. Deltę liczymy ze wzoru \(Δ=b^2-4ac\), następnie z otrzymanej delty obliczamy pierwiastek, a rozwiązania wyznaczamy ze wzorów \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\) oraz \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\).
3. Jeżeli \(Δ\gt0\) to równanie ma dwa rozwiązania. Jeżeli \(Δ=0\) to równanie ma jedno rozwiązanie. Jeżeli \(Δ\lt0\) to równanie nie ma rozwiązań.
4. Jeżeli współczynnik \(b\) lub \(c\) jest równy \(0\) (czyli kiedy nie mamy samodzielnego iksa lub wolnego wyrazu), to warto spróbować rozwiązać to równanie bez liczenia delty.
5. Kiedy równanie zapisane jest w postaci iloczynowej, to wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera.

Dodaj komentarz