Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek:
\(a\lt-1\)
\(-1\le a\lt0\)
\(0\le a\lt\frac{1}{3}\)
\(a\gt\frac{1}{3}\)
Rozwiązanie:
Skoro funkcja nie ma miejsc zerowych, to na pewno \(Δ\lt0\). Zanim skorzystamy z tej informacji to spróbujmy obliczyć tę deltę tak jak zazwyczaj robimy to przy równaniach i nierównościach kwadratowych.
Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=3a\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a$$
Krok 2. Obliczenie wartości jakie przyjmuje parametr \(a\).
Skoro delta musi być mniejsza od zera, to obliczona przed chwilą wartość \(4-12a\) będzie mniejsza od zera. W ten oto sposób wyznaczymy przedział wartości parametru \(a\):
$$4-12a\lt0 \\
-12a\lt-4 \\
12a\gt4 \\
a\gt\frac{1}{3}$$
(Podczas rozwiązywania tej nierówności pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
Odpowiedź:
D. \(a\gt\frac{1}{3}\)
