Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|=11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Narysujmy sobie ten graniastosłup i oznaczmy na nim od razu długości, które są podane w treści zadania. Pamiętaj, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, dlatego w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny.

dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF

Dodatkowo musimy zauważyć, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym, bowiem jego dwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(BF\).

Spójrzmy na trójkąc \(ACF\). Jest to trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są nam znane. W związku z tym bez problemu obliczymy długość przeciwprostokątnej \(AF\):
$$|AC|^2+|CF|^2=|AF|^2 \\
10^2+11^2=|AF|^2 \\
100+121=|AF|^2 \\
|AF|^2=221 \\
|AF|=\sqrt{221}$$

Powiedzieliśmy sobie, że trójkąt ABF jest równoramienny, zatem także \(|BF|=\sqrt{221}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\).

Spójrzmy może na rysunek samego trójkąta \(ABF\):

dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF

Znamy długość podstawy \(|AB|=10\). Brakuje nam jeszcze wysokości tego trójkąta. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem otrzymamy mały trójkąt prostokątny \(SBF\), z którego za pomocą Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość trójkąta.
$$|SB|^2+|SF|^2=|BF|^2 \\
5^2+|SF|^2=(\sqrt{221})^2 \\
25+|SF|^2=221 \\
|SF|^2=196 \\
|SF|=14$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABF\).

Wystarczy już podstawić do wzoru na pole trójkąta wszystkie dane, które uzyskaliśmy przed chwilą:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot |AB| \cdot |SF| \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot14 \\
P=70$$

Odpowiedź:

\(P=70\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!