Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) i niepodzielnych przez \(9\)?
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.
Moglibyśmy wypisać sobie wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) i zostawić na niej tylko te niepodzielne przez \(9\). Tych liczb nie będzie tak wiele, więc jesteśmy w stanie zrobić to ręcznie:
$$\require{cancel}
12,\cancel{18},24,30,\cancel{36},42,48 \\
\cancel{54},60,66,\cancel{72},78,84,\cancel{90},96$$
Zostało nam \(10\) liczb i taka jest też nasza odpowiedź.
Gdyby to zadanie obejmowało jeszcze liczby trzycyfrowe, to dobrze byłoby wykonać to wszystko nieco bardziej matematycznie, bo wypisywanie ręczne byłoby bardzo czasochłonne. W takiej sytuacji z pomocą przyjdzie nam ciąg arytmetyczny, którego \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\). Dobrze byłoby też wyznaczyć sobie największą liczbę dwucyfrową podzielną przez \(6\), a jest nią \(96\), zatem \(a_{n}=96\). Teraz w prosty sposób możemy obliczyć ile wyrazów zawiera ten ciąg arytmetyczny:
$$a_{1}+(n-1)r=a_{n} \\
12+(n-1)\cdot6=96 \\
(n-1)\cdot6=84 \\
n-1=14 \\
n=15$$
To oznacza, że mamy \(15\) liczb podzielnych przez \(6\).
Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb \(6\) i \(9\) jest \(18\). To oznacza, że każda liczba podzielna przez \(18\) będzie podzielna i przez \(6\) i przez \(9\). Liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(18\) jest pieć: \(18,36,54,72,90\).
Skoro nas interesują te niepodzielne przez \(9\), więc ze zbioru \(n=15\) musimy odrzucić te pięć liczb, które obliczyliśmy sobie przed chwilą i zostaje nam \(10\) dwucyfrowych liczb, które są podzielne przez \(6\) i niepodzielne przez \(9\).
B. \(10\)
