Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników jest drugim (obok metody podstawiania) najpopularniejszym sposobem rozwiązywania układu równań. Metoda ta polega na doprowadzeniu do sytuacji w której w obydwu równaniach mamy przy tej samej niewiadomej dwa różne znaki (czyli chcemy mieć przykładowo w pierwszym równaniu \(2x\), a w drugim \(-2x\)). Spójrzmy na przykład:

Przykład 1. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników następujący układ równań: \( \begin{cases} 2x-3y=8\\ 3x+y=1 \end{cases} \)

W tej sytuacji widzimy, że w pierwszym równaniu przed igrekiem znajduje się minus, a w drugim równaniu znajduje się plus. To jest bardzo dobra przesłanka do tego, aby skorzystać właśnie z metody przeciwnych współczynników. Spróbujmy zatem wymnożyć obustronnie drugie równanie, tak aby tam też znalazła się wartość \(3y\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
2x-3y=8 \\
3x+y=1 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}

\begin{cases}
2x-3y=8 \\
9x+3y=3
\end{cases}

Teraz spójrzmy na niewiadomą \(y\) w obydwu równaniach. W pierwszym równaniu przed igrekiem stoi współczynnik \(-3\), a w drugim równaniu ten współczynnik jest równy \(3\). To jest właśnie to do czego dążyliśmy w metodzie przeciwnych współczynników. Możemy teraz dodać równania stronami, czyli dodać do siebie wszystko to co jest po lewej stronie i to co jest po prawej stronie. Otrzymamy wtedy:
$$2x+9x-3y+3y=8+3 \\
11x=11 \\
x=1$$

Udało nam się już obliczyć, że \(x=1\). Musimy jeszcze poznać wartość igreka, a zrobimy to podstawiając obliczonego iksa do dowolnego z dwóch równań, które znalazły się w układzie równań:
$$2x-3y=8 \\
2\cdot1-3y=8 \\
2-3y=8 \\
-3y=6 \\
y=-2$$

W ten oto sposób wyznaczyliśmy rozwiązania tego układu równań: \(x=1\) oraz \(y=-2\). Możemy to nawet symbolicznie zapisać jako:
$$\begin{cases}
x=1 \\
y=-2
\end{cases}$$

Możemy więc powiedzieć, że rozwiązanie układu równań metodą przeciwnych współczynników odbywa się w następujący sposób:
1. Doprowadzamy do sytuacji w której w obydwu równaniach przy jednej niewiadomej stroną dwie te same liczby o przeciwnych znakach (np. \(3x\) oraz \(-3x)\).
2. Dodajemy stronami te dwa równania, pozbywając się w ten sposób jednej z niewiadomych.
3. Rozwiązujemy powstałe proste równanie liniowe z jedną niewiadomą, wyznaczając w tym momencie wartość jednej z niewiadomych.
4. Znając wartość jednej niewiadomej podstawiamy tę liczbę do jednego z dwóch równań i wyznaczamy w ten sposób wartość drugiej niewiadomej.

Ktoś mógłby zadać pytanie czy jest sens poznawać metodę przeciwnych współczynników, skoro w powyższym przykładzie można było zastosować metodę podstawiania. Wystarczyło tak naprawdę z drugiego równania \(3x+y=1\) wyznaczyć, że \(y=1-3x\) i podstawić tę wartość do równania pierwszego. Rzeczywiście i jeden i drugi sposób jest w tym przypadku bardzo dobry i w zasadzie i jeden i drugi sposób jest tak samo czasochłonny. Warto jednak znać obydwie te metody rozwiązywania układu równań, bo czasem po prostu z metody przeciwnych współczynników korzysta się znacznie szybciej i prościej.

Przykład 2. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników następujący układ równań: \(\begin{cases} \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y=2\\ -2x+y=1 \end{cases}\)

Mamy w zasadzie dwie możliwości – możemy pomnożyć przez \(4\) obie strony pierwszego równania (dzięki temu w pierwszym równaniu będziemy mieć \(2x\) natomiast w drugim \(-2x\)), albo też możemy pomnożyć przez \(-5\) to pierwsze równanie (dzięki temu w pierwszym równaniu będziemy mieć \(-y\), a w drugim \(y\)). Jeden i drugi pomysł doprowadzi nas do celu, choć wydaje się że prościej będzie po prostu mnożyć przez liczbę dodatnią, czyli przez \(4\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases}
\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}y=2 \quad\bigg/\cdot4 \\
-2x+y=1
\end{cases}

\begin{cases}
2x+\frac{4}{5}y=8 \\
-2x+y=1
\end{cases}

Teraz korzystając z metody przeciwnych współczynników możemy dodać obustronnie te dwa równania, otrzymując:
$$2x+(-2x)+\frac{4}{5}y+y=8+1 \\
\frac{9}{5}y=9 \quad\bigg/\cdot5 \\
9y=45 \\
y=5$$

Znamy już wartość igreka, zatem podstawiając \(y=5\) do jednego z równań obliczymy wartość drugiej niewiadomej:
$$-2x+y=1 \\
-2x+5=1 \\
-2x=-4 \\
x=2$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest wiec para liczb: \(x=2\) oraz \(y=5\).

Ciekawostka:
Jak już nabierzemy wprawy w rozwiązywaniu układów równań, to możemy zastosować lekką modyfikację metody przeciwnych współczynników. Okazuje się, że współczynniki stojące przy jednej niewiadomej wcale nie muszą mieć przeciwnych współczynników, wystarczy że będą sobie równe (np. \(3x\) w pierwszym równaniu oraz \(3x\) w drugim). Różnica w całej procedurze liczenia polega na tym, że zamiast dodać równania stronami, tutaj trzeba będzie je od siebie odjąć. Spójrzmy na prosty przykład:

Przykład 3. Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} 2x+4y=13\\ 2x-y=3 \end{cases}\)

Gdybyśmy chcieli zastosować tutaj metodę przeciwnych współczynników, to trzeba byłoby albo pomnożyć drugie równanie przez \(-1\), tak aby mieć wartość \(-2x\), albo też pomnożyć drugie równanie przez \(4\), tak aby mieć \(-4y\). Możemy jednak skorzystać z prostej sztuczki matematycznej i po prostu odjąć te równania stronami:
$$\begin{cases}
2x+4y=13\\
2x-y=3
\end{cases}$$

$$2x-2x+4y-(-y)=13-3 \\
4y+y=10 \\
5y=10 \\
y=2$$

Znając wartość igreka możemy teraz obliczyć iksa:
$$2x-y=3 \\
2x-2=3 \\
2x=5 \\
x=2\frac{1}{2}$$

Ta modyfikacja metody przeciwnych współczynników przyda się zwłaszcza w szkole średniej, chociażby w dziale geometrii analitycznej. Dzięki niej będziemy w stanie bardzo szybko rozwiązywać układy równań składające się ze wzorów dwóch prostych.

Zobacz też: Metoda podstawiania

Dodaj komentarz