Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2011

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. Nasza parabola będzie przechodzić przez miejsca zerowe wyznaczone przed chwilą, dlatego zaznaczamy je na osi i szkicujemy wykres:



Pamiętaj, że kropki przy \(x=1\) oraz \(x=2\) są niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości znajdujących się pod osią (czyli mniejszych od zera). Widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział: \(x\in(1;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz liczby na takie, które mają w potędze dwójkę.
ALBO
• Gdy rozłożysz poszczególne liczby na czynniki pierwsze.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1 \\
4=2^2 \\
6=2^1\cdot3 \\
8=2^3 \\
10=2^1\cdot5 \\
12=2^2\cdot3 \\
14=2^1\cdot7 \\
16=2^4$$

Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \\
=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \\
2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$

Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość cosinusa (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny i obliczysz, że przeciwprostokątna ma długość \(x\sqrt{15}\).
ALBO
• Gdy w trakcie obliczeń wartości sinusa lub cosinusa nie odrzucisz ujemnego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości cosinusa.
Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{1}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=1-\frac{1}{16} \\
cos^2α=\frac{15}{16} \\
cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \\
cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} \\
tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4} \\
tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}} \\
tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$

Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\).
Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:
$$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2= \\
=3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość \(x\).
$$6=\frac{2x+1+16x+2}{2} \\
6=\frac{18x+3}{2} \\
12=18x+3 \\
18x=9 \\
x=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przeprowadzisz niepełny dowód np. napiszesz że poszczególne trójkąty są przystające i/lub podobne i na tej podstawie wysnujesz wniosek, że poszczególne pary odcinków są sobie równe, ale nie udowodnisz tej cechy przystawania/podobieństwa korzystając np. z cechy bok-kąt-bok.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy połączyć ze sobą punkty \(LE\), \(DG\) oraz \(KH\). Powstaną nam wtedy trzy trójkąty \(ΔLEA\), \(ΔDGB\) oraz \(ΔKCH\) i będą to trójkąty równoramienne (bo ramionami są boki identycznych kwadratów).

Możemy nawet obliczyć miarę tego kąta rozwartego każdego z tych trójkątów i będzie to \(120°\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na poniższy rysunek i na kąt \(\sphericalangle LAE\). W skład kąta pełnego wchodzą dwa kąty z kwadratów, kąt z trójkąta równobocznego oraz nasz kąt rozwarty \(\sphericalangle LAE\), zatem:
$$|\sphericalangle LAE|=360°-90°-90°-60°=120°$$

Analogicznie możemy przeanalizować kąty \(\sphericalangle DBG\) oraz \(\sphericalangle KCH\).



To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - skoro trójkąty \(ΔLAE\), \(ΔDGB\) oraz \(ΔKCH\) mają te same długości ramion i mają taki sam kąt między ramionami, to na pewno są to trójkąty przystające (cecha bok-kąt-bok).

Tutaj warto też nadmienić, że kąty przy niebieskich podstawach będą mieć \(30°\). Skąd to wiemy? Są to trójkąty równoramienne, a kąt między ich ramionami wynosi \(120°\), zatem każdy z kątów przy podstawie musi mieć: \((180°-120°):2=30°\). Ta wiedza przyda nam się w drugim kroku.

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ΔEDG\), \(ΔKHG\), \(ΔLKE\) są przystające i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy teraz na kolejny rysunek:



Z pierwszego kroku wynika, że odcinki \(LE\), \(DG\) oraz \(KH\) są sobie równe. Równe też są na pewno odcinki \(LK\), \(ED\) oraz \(HG\), bo są to boki kwadratów. Widzmy także, że kąty:
$$|\sphericalangle KLE|=|\sphericalangle EDG|=|\sphericalangle KHG|=90°+30°=120°$$

To oznacza, że trójkąty \(ΔEDG\), \(ΔKHG\), \(ΔLKE\) są także trójkątami przystającymi, a skoro tak, to mają identyczne długości odcinków \(|KE|=|EG|=|GK|\), co jest dowodem na to, że trójkąt \(ΔKGE\) jest równoboczny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że odcinek \(|AB|\) ma długość \(\frac{5}{12}\) długości okręgu.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że dwa kolejne punkty okręgu wraz ze środkiem okręgu wyznaczają kąt \(30°\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wystarczy tak naprawdę dorysować ramiona i widzimy wyraźnie, że nasz kąt będzie stanowił \(\frac{5}{12}\) miary kąta pełnego, bo zajmuje on pięć kawałków z dwunastu na jakie jest ten okrąg podzielony. Zatem miara kąta środkowego będzie równa:
$$\frac{5}{12}\cdot360°=150°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym losowaniu wybieramy jedną z dziesięciu kul z pudełka czerwonego. W drugim losowaniu (z pudełka niebieskiego) także mamy możliwość otrzymania jednej z dziesięciu liczb. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że łącznie wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli par wylosowanych liczb typu \((1;6), (5;3), (7;9)\) itd.) będziemy mieć:
$$|Ω|=10\cdot10=100$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której kula z czerwonego pudełka ma numer mniejszy od kuli z niebieskiego. Czyli interesują nas przypadki typu:
$$(1;2), (1;3) ... (1;9), (1;10) \\
(2;3), (2;4) ... (2;9), (2;10) \\
... \\
(8;9), (8;10) \\
(9;10)$$

Widzimy wyraźnie, że jeśli na czerwonej kuli wypadnie jedynka, to sprzyjających zdarzeń mamy \(9\), kiedy wypadnie dwójka to będzie ich \(8\), kiedy trójka to \(7\) i tak dalej, aż do momentu kiedy wypadnie dziewiątka, wtedy będzie tylko jedno takie zdarzenie. To oznacza, że wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(s\) lub \(d\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(s\) - szerokość pierwszego boiska
\(d\) - długość pierwszego boiska
\(s-8\) - szerokość drugiego boiska
\(d+4\) - długość drugiego boiska
\(p=65\) - długość przekątnej boiska

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:
\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \\
(s-8)^2+(d+4)^2=65^2
\end{cases}\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \\
s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2
\end{cases}

Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:
$$-16s+64+8d+16=0 \\
-16s+8d+80=0 \\
8d=16s-80 \\
d=2s-10$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy:
$$s^2+(2s-10)^2=65^2 \\
s^2+4s^2-40s+100=4225 \\
5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5 \\
s^2-8s-825=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$

$$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \\
s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk.
Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:
$$d=2s-10 \\
d=2\cdot33-10 \\
d=66-10 \\
d=56$$

Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).

Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:
Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\)
Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\)

Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że pierwszą cyfrę można zapisać na \(8\) sposobów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że drugą cyfrę można zapisać na \(9\) sposobów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że trzy ostatnie cyfry można zapisać na \(10\) sposobów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwie z trzech rzeczy wartych jeden punkt.
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie trzy rzeczy warte jeden punkt.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wskazanie na ile sposobów można zapisać pierwszą i drugą cyfrę pięciocyfrowej liczby.
Pierwszą cyfrą tej liczby może być każda cyfra oprócz dziewiątki (wynika to z czwartego założenia) oraz oczywiście oprócz zera. To oznacza, że pierwszą cyfrę możemy zapisać na \(8\) sposobów.
Drugą cyfrą tej liczby także nie może być dziewiątka (ponownie wynika to z czwartego założenia), ale tym razem może to już być zero. To oznacza, że drugą cyfrę możemy zapisać na \(9\) sposobów.

Krok 2. Wskazanie na ile sposobów można zapisać trzy ostatnie cyfry pięciocyfrowej liczby.
Musimy teraz ustalić pasujące konfiguracje trzech ostatnich cyfr, które na pewno są parzyste. Po wczytaniu się w treść warunków zauważymy też, że szukamy takich liczb \(s\gt d\gt j\), czyli gdzie setki są większe od dziesiątek, a dziesiątki większe od jedności. Takimi "końcówkami" pięciocyfrowej liczby będą:
$$420 \\
620,640,642 \\
820,840,842,860,862,864$$

Łącznie jest to \(10\) różnych możliwości.

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro pierwszą cyfrę możemy dobrać na \(8\) sposobów, drugą na \(9\) sposobów, a trzy ostatnie na \(10\) sposobów, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli liczb spełniających warunki naszego zadania) będzie:
$$|Ω|=8\cdot9\cdot10=720$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy błędne rozwiązanie wynika ze złego podpisania danych na rysunku.
1 pkt
• Gdy zapiszesz przynajmniej jedno równanie z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość przynajmniej jednej krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wszystkie długości krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:



Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$x^2+y^2=|BD|^2$$

I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.

Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)
Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)
Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(|BD|^2+H^2=81\), czyli \(x^2+y^2+H^2=81\)

Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.
Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:
$$x^2+36=81 \\
x^2=45 \\
x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\
45+H^2=49 \\
H^2=4 \\
H=2$$

Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$y^2+2^2=36 \\
y^2+4=36 \\
y^2=32 \\
y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:
$$P_{p}=x\cdot y \\
P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\
P_{p}=12\sqrt{10}$$

Krok 6. Obliczenie objętości bryły.
Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\
V=4\sqrt{10}\cdot2 \\
V=8\sqrt{10}$$