Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego an, określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla $n\ge1$, jest równy $30$, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa $162$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30 \\
S_{12}=162$$

Korzystając zatem ze wzoru na sumę $n$-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n \\
S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12 \\
162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6 \\
27=a_{1}+30 \\
a_{1}=-3$$

Odpowiedź

$a_{1}=-3$

Zadania

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego an, określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.