Wzory redukcyjne

Jedną z większych trudności w trygonometrii jest podawanie wartości funkcji trygonometrycznych np. dla kątów rozwartych. Ta trudność bierze się z tego iż w tablicach trygonometrycznych zazwyczaj brakuje wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów innych niż ostre (czyli dla kątów większych niż \(90°\)). W poznaniu wartości funkcji dla np. kątów rozwartych przydatne są właśnie wzory redukcyjne. Oprócz tego wzory redukcyjne pozwalają nam płynnie zamieniać wartości np. sinusa jednego kąta na cosinus kąta drugiego, co może przydać się podczas rozwiązywania niektórych zadań. Zanim jednak przejdziemy do przykładów to poznajmy te najpopularniejsze wzory redukcyjne.

Wzory redukcyjne
$$sin(90°-α)=cosα \\
sin(90°+α)=cosα \\
sin(180°-α)=sinα \\
sin(180°+α)=-sinα \\
\quad \\
cos(90°-α)=sinα \\
cos(90°+α)=sinα \\
cos(180°-α)=cosα \\
cos(180°+α)=-cosα \\
\quad \\
tg(180°-α)=-tgα \\
tg(180°+α)=tgα$$
Przykład 1. Podaj wartość \(sin150°\).

Wartości sinusa kąta \(150°\) nie odczytamy z tablic matematycznych. Musimy w tym celu skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Spójrzmy na wzór \(sin(90°+α)=cosα\). Ten wzór mówi nam o tym, że gdybyśmy rozbili wartość \(150°\) na sumę kątów \(90°\) oraz jakiegoś kąta \(α\), to moglibyśmy zamienić tę wartość na cosinus kąta \(α\). Skoro \(150°=90°+60°\), to możemy zapisać, że:
$$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Za pomocą wzorów redukcyjnych udało nam się obliczyć, że \(sin150°=cos60°\), a wartość cosinusa tego kąta ostrego możemy odczytać już bezpośrednio z tablic, czyli \(cos60°=\frac{1}{2}\). Możemy więc zapisać, że:
$$sin150°=cos60°=\frac{1}{2}$$

Jeżeli przyjrzymy się wzorom redukcyjnym to zauważymy, że mogliśmy tutaj skorzystać także ze wzoru \(sin(180°-α)=sinα\). Tym razem musielibyśmy wartość \(150°\) na różnicę \(180°-30°\), zatem całość wyglądałaby następująco:
$$sin150°=sin(180°-30°)=sin30°$$

Tym razem wyszło nam z tej zamiany, że \(sin150°=sin30°\). Czy to oznacza, że skoro wyszedł nam inny wynik to coś źle obliczyliśmy? Nie, ponieważ \(sin30°\) to także \(\frac{1}{2}\), zatem możemy za pomocą wzorów redukcyjnych bardzo elastycznie przechodzić pomiędzy funkcjami, zachowując przy tym cały czas poprawność obliczeń.

Przykład 2. Podaj wartość \(cos135°\).

Tutaj mamy podobny problem co przed chwilą, musimy zamienić wartość funkcji trygonometrycznej kąta rozwartego na jakąś wartość kąta ostrego. Najprościej będzie skorzystać ze wzoru \(cos(90°+α)=sinα\), rozpisując miarę \(135°\) na sumę \(90°+45°\). Zatem:
$$cos135°=cos(90°+45°)=sin45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), zatem \(cos135°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

To nie jest oczywiście jeden sposób na poznanie wartości \(cos135°\), bowiem równie dobrze moglibyśmy skorzystać tutaj ze wzoru \(cos(180°-α)=cosα\). Rozbijamy wartość \(135°\) na różnicę \(180°-45°\) i otrzymamy wtedy:
$$cos135°=cos(180°-45°)=cos45°$$

Z tablic odczytujemy, że \(cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), zatem otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik co przed chwilą.

Przykład 3. Podaj wartość \(tg120°\).

Omówimy sobie tym razem tangensa kąta rozwartego. Skorzystamy tutaj ze wzoru \(tg(180°-α)=-tgα\), rozpisując kąt \(120°\) na różnicę \(180°-60°\). W związku z tym:
$$tg120°=tg(180°-60°)=-tg60°$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że \(tg60°=\sqrt{3}\), natomiast nas interesuje wartość \(-tg60°\). Możemy zatem zapisać iż:
$$tg120°=-tg60°=-\sqrt{3}$$

Poznaliśmy więc najważniejsze zastosowanie wzorów redukcyjnych, które pozwala nam odczytywać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych kątów mających więcej niż \(90°\). Drugim zastosowaniem jest zamiana sinusów na cosinusy i cosinusów na sinusy.

Przykład 4. \(sin27°=cosα\). Wyznacz miarę kąta \(α\).

Takie zadanie sprowadza się do tego, by za pomocą wzorów redukcyjnych zamienić wartość sinusa na cosinus. Skorzystamy tutaj ze wzoru \(sin(90°-α)=cosα\), rozbijając \(27°\) na różnicę \(90°-63°\). Otrzymamy zatem:
$$sin27°=sin(90°-63°)=cos63°$$

Tego typu zamiany najczęściej przydają się w zadaniach dowodowych. Zresztą to zadanie mogłoby nawet brzmieć: „Wykaż, że \(sin27°=cos63°\)” i wtedy właśnie musielibyśmy zastosować wzory redukcyjne, pokazując że obydwie te wartości są rzeczywiście sobie równe.

Dodaj komentarz