W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym punkt O jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek poniżej) punkt \(O\) jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej, a odcinek \(OC'\) jest o \(4\) dłuższy od przekątnej podstawy. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy dolnej i wierzchołek \(C'\) podstawy górnej. Pole figury otrzymanej w wyniku przekroju jest równe \(48\). Zaznacz tę figurę na rysunku poniżej i oblicz objętość graniastosłupa.

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4) \\
48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2 \\
96=d^2+4d \\
d^2+4d-96=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że:
$$|OC|=\frac{1}{2}d \\
|OC|=\frac{1}{2}\cdot8 \\
|OC|=4$$

Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem:
$$|OC'|=d+4 \\
|OC'|=8+4 \\
|OC'|=12$$

Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa:
$$|OC|^2+H^2=|OC'|^2 \\
4^2+H^2=12^2 \\
16+H^2=144 \\
H^2=128 \\
H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$

Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=a^2\cdot H \\
V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2} \\
V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2} \\
V=256\sqrt{2}$$

Odpowiedź

\(V=256\sqrt{2}\) (pamiętaj o zaznaczeniu figury na rysunku!)

Dodaj komentarz