Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię \(6000m^2\). Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o \(10m\) i \(15m\) oraz powierzchnię większą o \(2250m^2\). Oblicz wymiary pierwszej działki.
\(s\) – szerokość pierwszej działki
\(d\) – długość pierwszej działki
\(s+10\) – szerokość drugiej działki
\(d+15\) – długość drugiej działki
Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \\
(s+10)\cdot(d+15)=6000+2250
\end{cases}
Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \\
sd+15s+10d+150=8250
\end{cases}
Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania \(sd=6000\) oraz \(s=\frac{6000}{d}\), zatem:
$$6000+15\cdot\frac{6000}{d}+10d+150=8250 \\
\frac{90000}{d}+10d-2100=0 \quad\bigg/\cdot d \\
10d^2-2100d+90000=0 \quad\bigg/:10 \\
d^2-210d+9000=0$$
Wykonanie ostatniego dzielenia przez \(10\) nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-210,\;c=9000\)
$$Δ=b^2-4ac=(-210)^2-4\cdot1\cdot9000=44100-36000=8100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8100}=90$$
$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)-90}{2\cdot1}=\frac{210-90}{2}=\frac{120}{2}=60 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)+90}{2\cdot1}=\frac{210+90}{2}=\frac{300}{2}=150$$
Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.
Jeśli długość działki jest równa \(d=60\), to szerokość wynosi:
$$s=\frac{6000}{d} \\
s=\frac{6000}{60} \\
s=100$$
Jeśli długość działki wynosi \(d=150\), to jej szerokością będzie:
$$s=\frac{6000}{150} \\
s=40$$
Pierwsza działka ma wymiary \(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\).
\(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\)
