Rozwiązanie
Naszym zadaniem jest po prostu ustalenie, która z tych liczb jest najmniejsza, a która największa i ustawienie tych liczb w porządku rosnącym. To zadanie nie jest więc w żaden sposób związane z ciągami jako takimi.
Teoretycznie moglibyśmy przyjąć przybliżenie \(\sqrt{5}\approx2,23\) i obliczyć na kalkulatorze wartość każdej z tych liczb. I prawdopodobnie byłaby to najszybsza metoda, bo od razu otrzymalibyśmy, że:
$$x\approx\frac{3}{2,23-2}=\frac{3}{0,23}=13,04 \\
y\approx\frac{12}{2,23-1}+1=\frac{12}{1,23}+1=9,76+1=10,76 \\
z\approx3\sqrt{5}+2=3\cdot2,23+2=8,69$$
Gdybyśmy jednak chcieli do tego zadania podejść nieco bardziej matematycznie, to kluczem do sukcesu byłoby po prostu usunięcie niewymierności z każdego z podanych ułamków. Otrzymamy wtedy:
$$x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}=\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}=\frac{3\sqrt{5}+6}{1}=3\sqrt{5}+6 \\
y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12\cdot(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)\cdot(\sqrt{5}+1)}+1= \\
=\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=3\sqrt{5}+4 \\
z=3\sqrt{5}+2$$
Zarówno z pierwszego jak i drugiego sposobu wynika, że najmniejsza jest liczba \(z\), największa to \(x\), zatem ten ciąg tworzą po kolei liczby \(z,y,x\).
