Wykresy, wzory i współczynniki funkcji liniowej - zadania
Zadanie 5. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=\frac{1}{2}x-6\):
A) Jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\)
B) Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\)
C) Jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)
D) Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.
Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).
To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie 7. (1pkt) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\gt0\) i \(b\lt0\). Wskaż ten wykres.
Wyjaśnienie:
Współczynnik kierunkowy \(a\gt0\) oznacza, że funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(b\lt0\) oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\).
Obydwa te warunki spełnia jedynie wykres z odpowiedzi \(C\).
Zadanie 16. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\).
Wtedy:
A) \(a=\frac{2}{3}, b=-2\)
B) \(a=3, b=-2\)
C) \(a=\frac{3}{2}, b=2\)
D) \(a=-3, b=2\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2 \\
2=6a-2 \\
6a=4 \\
a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
Zadanie 21. (1pkt) O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\). Do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(-2,3)\). Wzór funkcji \(f\) to:
A) \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)
B) \(f(x)=-\frac{1}{2}x+2\)
C) \(f(x)=-3x+7\)
D) \(f(x)=-2x+4\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases}
2=1a+b \\
3=-2a+b
\end{cases}
Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a \\
a=-\frac{1}{3}$$
W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b \\
2=-\frac{1}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$
Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).
Zadanie 22. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-4)x+2\) jest malejąca, gdy:
A) \(m\in\{-2;2\}\)
B) \(m\in(-2;2)\)
C) \(m\in(-\infty;-2)\)
D) \(m\in(2;+\infty)\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie kiedy funkcja będzie malejąca.
Funkcja jest malejąca wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera (czyli \(a\lt0\)). W tym przypadku współczynnik \(a\) został zapisany z parametrem, więc aby nasza funkcja była malejąca, to \(m^2-4\) musi być mniejsze od zera.
Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Aby dowiedzieć się kiedy funkcja jest malejąca musimy rozwiązać nierówność \(m^2-4\lt0\). Możemy ją oczywiście obliczyć za pomocą delty lub zapisując ją w postaci iloczynowej, ale tak naprawdę jest to prosta nierówność, którą śmiało możemy rozwiązać w pamięci. Rozwiązaniem tej nierówności jest oczywiście przedział \(m\in(-2;2)\). Jeśli jednak nie umiemy tego wyliczyć w pamięci, to możemy rozwiązać to jak każdą inną nierówność w trzech prostych krokach:
1. Najpierw szukamy miejsc zerowych, więc przyrównujemy \(m^2-4\) do zera:
$$m^2-4=0 \\
(m-2)(m+2)=0 \\
m=2 \quad\lor\quad m=-2$$
2. Następnie rysujemy szkic paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed \(m^2\) nie stoi znak minusa:
3. Teraz odczytujemy dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości ujemne (czyli dla jakich argumentów wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\)), a jest to przedział \(m\in(-2;2)\).
pomocne, dzięki
thx
Zadanie 13. (1pkt) Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Błąd w zadaniu ,ta funkcja może być jednocześnie rosnąca i powyżej punktu zerowego układu czyli a>0 i b>0
To zadanie jest dobrze zrobione ;) Współczynnik b mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią igreków. To miejsce jest na pewno pod osią iksów, bo gdyby było inaczej, to nie udałoby się spełnić dwóch warunków jednocześnie – czyli że funkcja jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Zgadza się nie doczytałem dokładnie tego drugiego warunku.
Bardzo pomocne ! Wielkie dzięki !
mega pomocne
Ciekawa jestem czy Szalone liczby to Pan czy Pani. Pozdrawiam ktokolwiek to jest! Ciągle korzystam.
Tylko jeden pan za tym stoi, miło mi :D Pozdrawiam serdecznie!
Przydało się, dzięki
aaa dzięki ćwiczeniom z Tobą przez ostatnie 2 tygodnie, jestem w stanie zrobić wszystkie te zadania bezbłędnie <3
W zadaniu 16 nie powinno być -2/3? Pozdrawiam!
Ale dlaczego miałoby wyjść -2/3? To na pewno jest zła odpowiedź, bo takiego wariantu nie mamy nawet w ABCD ;)