Wykresy, wzory i współczynniki funkcji liniowej – zadania maturalne

\(m=2\)

Aby funkcja określona wzorem \(y=ax+b\) była rosnąca to współczynnik \(a\) musi być większy od zera. W naszym przykładzie \(a=m-1\), zatem aby funkcja była rosnąca to:
$$m-1\gt0 \\
m\gt1$$

Spośród czterech odpowiedzi większa od jedynki jest jedynie czwarta odpowiedź, czyli \(m=2\).

\(m=1\)

Funkcję liniową wyrażamy wzorem w postaci \(f(x)=ax+b\). Aby funkcja liniowa była stała, to współczynnik \(a\) musi być równy \(0\). W naszym przypadku \(a=m-1\), stąd też aby funkcja była stała, to \(m-1\) musi być równe \(0\). Zatem:
$$m-1=0 \\
m=1$$

\(2\sqrt{2}\)

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób:
$$-\sqrt{2}x+4=0 \\
-\sqrt{2}x=-4 \\
\sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

\(m\gt2\)

Aby funkcja była rosnąca, to jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W naszym przypadku \(a=m-2\), zatem funkcja będzie rosnąca dla:
$$m-2\gt0 \\
m\gt2$$

Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)

Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).

To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.

\(f(1)\gt1\)

Jeżeli współczynnik \(a\) jest większy od zera (a tak wynika z treści zadania) to funkcja liniowa jest na pewno rosnąca. Nie znamy dokładnej wartości współczynnika \(a\), ale już nawet dla \(f(0)\) funkcja przyjmuje wartość równą \(6\), bo \(a\cdot0+6=6\). Z związku z tym skoro funkcja jest rosnąca i \(f(0)=6\), to tym bardziej \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) oraz \(f(4)\) muszą dać wynik większy od \(6\). To oznacza, że prawidłowo zapisaną zależnością jest tylko ta z pierwszej odpowiedzi.

Współczynnik kierunkowy \(a\gt0\) oznacza, że funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(b\lt0\) oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\).

Obydwa te warunki spełnia jedynie wykres z odpowiedzi \(C\).

\(m=1\)

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z treści zadania wiemy, że miejscem zerowym jest \(x=-2\), zatem prawdziwa będzie równość:
$$0=m\cdot(-2)+2 \\
0=-2m+2 \\
2m=2 \\
m=1$$

\(m=4\)

Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1 \\
0+m-3=1 \\
m=4$$

\(a\lt0\) i \(b\lt0\)

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).

\(m=2\)

Analizując informację o miejscu zerowym możemy wywnioskować, że funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) dla \(x=-3\). To oznacza, że gdybyśmy do wzoru tej funkcji podstawili trójkę, to powinniśmy otrzymać zero i właśnie na podstawie tego równania wyznaczymy wartość parametru \(m\):
$$f(-3)=0 \\
(2m-1)\cdot(-3)+9=0 \\
-6m+3+9=0 \\
-6m=-12 \\
m=2$$

\(\langle-10;2\rangle\)

Nasza funkcja jest funkcją liniową i to w dodatku rosnącą, bo ma dodatni współczynnik \(a=3\). To oznacza, że dla \(f(-2)\) funkcja przyjmie wartość najmniejszą, a dla \(f(2)\) największą, zatem:
$$f(-2)=3\cdot(-2)-4=-6-4=-10 \\
f(2)=3\cdot2-4=6-4=2$$

Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \(\langle-10;2\rangle\).

\(a\gt0\) i \(b\lt0\)

Skoro funkcja liniowa ma być rosnąca, to na pewno \(a\gt0\).
Wiemy też, że funkcja ta ma dodatnie miejsce zerowe, musi więc wyglądać mniej więcej w taki sposób:



Widzimy wyraźnie, że skoro funkcja ma dodatnie miejsce zerowe i jest jednocześnie rosnąca, to na pewno przecina oś \(Oy\) w wartości ujemnej, czyli pod osią \(Ox\). To oznacza, że współczynnik \(b\lt0\).

Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(a\gt0\) i \(b\lt0\).

\(m=0\)

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3 \\
-2=5m-5+3 \\
-2=5m-2 \\
5m=0 \\
m=0$$

\(b=-\frac{8}{3}\)

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\).
Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli:
$$-3x+4=0 \\
-3x=-4 \\
x=\frac{4}{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem:
$$2x+b=0 \\
2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \\
\frac{8}{3}+b=0 \\
b=-\frac{8}{3}$$

\(a=\frac{2}{3}, b=-2\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2 \\
2=6a-2 \\
6a=4 \\
a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

\((0,-3)\)

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).

\(6\)

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem:
$$0=-\frac{2}{3}x+4 \\
\frac{2}{3}x=4 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
x=6$$

\(-8\)

Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). To oznacza, że miejsce zerowe możemy obliczyć przyrównując \(\frac{3}{4}x+6\) do zera.
$$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
x+8=0 \\
x=-8$$

\(f(x)=-x+3\)

Teoretycznie możemy do wzoru każdej z funkcji podstawić najpierw współrzędne \(A\), później współrzędne punktu \(B\) i sprawdzić w którym przypadku obydwa równania będą poprawne. Możemy jednak samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji, tworząc pewien układ równań.

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Funkcje liniowe są opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\). Stwórzmy więc dwa równania - w pierwszym podstawimy do tego wzoru współrzędne punktu \(A\), w drugim współrzędne punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
2=1a+b \\
5=-2a+b
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie współczynników \(a\) oraz \(b\).
Odejmując to równanie stronami skrócą nam się współczynniki \(b\), dzięki czemu otrzymamy:
$$2-5=a-(-2a) \\
-3=3a \\
a=-1$$

Podstawiając wartość \(a=-1\) do jednego z równań wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$2=-1+b \\
b=3$$

To oznacza, że poszukiwana funkcja ma wzór: \(f(x)=-1x+3\), czyli \(f(x)=-x+3\).

\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)

Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases}
2=1a+b \\
3=-2a+b
\end{cases}

Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a \\
a=-\frac{1}{3}$$

W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b \\
2=-\frac{1}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

\(m\in(-2;2)\)

Krok 1. Ustalenie kiedy funkcja będzie malejąca.
Funkcja jest malejąca wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera (czyli \(a\lt0\)). W tym przypadku współczynnik \(a\) został zapisany z parametrem, więc aby nasza funkcja była malejąca, to \(m^2-4\) musi być mniejsze od zera.

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Aby dowiedzieć się kiedy funkcja jest malejąca musimy rozwiązać nierówność \(m^2-4\lt0\). Możemy ją oczywiście obliczyć za pomocą delty lub zapisując ją w postaci iloczynowej, ale tak naprawdę jest to prosta nierówność, którą śmiało możemy rozwiązać w pamięci. Rozwiązaniem tej nierówności jest oczywiście przedział \(m\in(-2;2)\). Jeśli jednak nie umiemy tego wyliczyć w pamięci, to możemy rozwiązać to jak każdą inną nierówność w trzech prostych krokach:

1. Najpierw szukamy miejsc zerowych, więc przyrównujemy \(m^2-4\) do zera:
$$m^2-4=0 \\
(m-2)(m+2)=0 \\
m=2 \quad\lor\quad m=-2$$

2. Następnie rysujemy szkic paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed \(m^2\) nie stoi znak minusa:



3. Teraz odczytujemy dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości ujemne (czyli dla jakich argumentów wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\)), a jest to przedział \(m\in(-2;2)\).