Matura próbna – Matematyka – Operon 2021

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie zadania musimy zacząć od przekształcenia zapisu nierówności. Po pierwsze, musimy przenieść \(\frac{3}{2}\) na lewą stronę (tak aby po prawej stronie zostało \(0\)). Po drugie, musimy wykonać potęgowanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x-1)^2\le\frac{3}{2} \\
(x-1)^2-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x+1-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x-\frac{1}{2}\le0 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x^2-4x-1\le0$$

Mnożenie obydwu stron przez \(2\) nie jest konieczne (na koniec uzyskamy te same wyniki), ale dzięki temu nie będziemy mieć już ułamków w dalszej części obliczeń.

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-4,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16-(-8)=24 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4-2\sqrt{6}}{4}=\frac{2-\sqrt{6}}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4+2\sqrt{6}}{4}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Otrzymane miejsca zerowe zaznaczamy na osi liczbowej i przystępujemy do rysowania paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się pod osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednio czynniki przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}= \\
=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)= \\
=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10= \\
=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$

Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W tym zadaniu musimy skorzystać wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\). Podstawiając do tego wzoru \(n=6\), otrzymamy:
$$S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{2}\cdot6 \\
72=\frac{a_{1}+22}{2}\cdot6 \\
12=\frac{a_{1}+22}{2} \\
24=a_{1}+22 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz wzór na pole powierzchni równoległoboku z sinusem (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz wartość sinusa kąta ostrego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
W tym zadaniu pomoże nam wzór na pole równoległoboku z sinusem, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Podstawiając do niego dane z treści zadania, otrzymamy:
$$30=5\cdot12\cdot sin\alpha \\
30=60\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów równoległoboku.
Z tablic trygonometrycznych (możemy skorzystać nawet z tak zwanej małej tabelki) odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\).

Suma kątów przy jednym ramieniu równoległoboku jest zawsze równa \(180°\). Skoro więc ostry kąt tej figury ma miarę \(30°\), to rozwarty kąt będzie mieć miarę:
$$180°-30°=150°$$


To oznacza, że nasz równoległobok ma kąty o mierze \(30°, 30°, 150°, 150°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne wierzchołków punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(5-(-7))^2+(-3-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{12^2+(-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{144+25} \\
|AB|=\sqrt{169} \\
|AB|=13$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i w dodatku pod kątem prostym. Będziemy więc zatem taką oto sytuację:


Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Na rysunku pomocniczym powstał nam trójkąt prostokątny, zatem z pomocą przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$|AS|^2+|BS|^2=|AB|^2 \\
12^2+|BS|^2=13^2 \\
144+|BS|^2=169 \\
|BS|^2=25 \\
|BS|=5 \quad\lor\quad |BS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=5\), co oznacza, że poszukiwany odcinek \(BD\) ma długość dwa razy większą, czyli \(|BD|=2\cdot5=10\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz długości krawędzi prostopadłościanu w postaci wyrażeń z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości krawędzi prostopadłościanu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)

W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60 \\
4\cdot(6n+9)=60 \\
24n+36=60 \\
24n=24 \\
n=1$$

Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)

Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc \\
V=3\cdot5\cdot7 \\
V=105$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7) \\
P_{c}=2\cdot(15+21+35) \\
P_{c}=2\cdot71 \\
P_{c}=142$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej bez współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz wartości współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy:
$$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1) \\
8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4) \\
8=2a \\
a=4$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
y=(4x+10)(x-1) \\
y=4x^2-4x+10x-10 \\
y=4x^2+6x-10$$

Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\).
Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku:


Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że:
$$q=-\frac{\Delta}{4a} \\
q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a} \\
q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4} \\
q=-\frac{(36+160)}{16} \\
q=-\frac{196}{16} \\
q=-12\frac{1}{4}$$

Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-6}{2\cdot4} \\
p=\frac{-6}{8} \\
p=-\frac{3}{4}$$

I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy:
$$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10 \\
q=-\frac{9}{4}-10 \\
q=-12\frac{1}{4}$$