Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Wzór na \(n\)-ty (czyli dowolny) wyraz ciągu arytmetycznego ma postać:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Z tego wzoru możemy wywnioskować, że znając wartość pierwszego wyrazu ciągu oraz znając różnicę ciągu, możemy w prosty sposób wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego. Sprawdźmy zatem wykorzystanie tego wzoru w praktyce:

Przykład 1. Oblicz wartość szóstego wyrazu ciągu arytmetycznego, wiedząc że \(a_{1}=2\) oraz \(q=3\).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę tylko podstawienie danych z treści zadania do wzoru. Skoro szukamy wartości szóstego wyrazu, to oczywiście \(n=6\), zatem:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{6}=a_{1}\cdot q^{6-1} \\
a_{6}=a_{1}\cdot q^5 \\
a_{6}=2\cdot3^5 \\
a_{6}=2\cdot243 \\
a_{6}=486$$

Przykład 2. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego, wiedząc że \(a_{1}=\frac{1}{3}\) oraz \(a_{5}=27\).

Tym razem szukamy wartości ilorazu \(q\) i to jest jedyna niewiadoma w naszym wzorze, zatem:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^4 \\
27=\frac{1}{3}\cdot q^4 \quad\bigg/\cdot3 \\
81=q^4 \\
q=3 \lor q=-3$$

Wyszły nam dwa rozwiązania – dodatnie i ujemne, ponieważ \(q\) było podniesione do potęgi parzystej. Gdyby było podniesione do potęgi nieparzystej, to mielibyśmy tylko jedno rozwiązanie. Czy to oznacza, że trzeba któreś rozwiązanie wykluczyć? Sprawdźmy jak wyglądają te ciągi:
Gdy \(q=3\) to mamy ciąg \(\frac{1}{3},1,3,9,27\)
Gdy \(q=-3\) to mamy ciąg \(\frac{1}{3},-1,3,-9,27\)

W obydwu przypadkach \(a_{5}=27\), czyli jedno i drugie rozwiązanie jest poprawne.

Czasami się zdarza, że któreś z rozwiązań trzeba odrzucić. Przykładowo gdybyśmy mieli podaną informację, że nasz ciąg musi być rosnący (a często się tak właśnie zdarza), to jedynym rozwiązaniem które nam pasuje byłoby \(q=3\). Gdyby ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz rosnący, raz malejący), to wtedy prawidłową odpowiedzią byłoby jedynie \(q=-3\).

Przykład 3. Oblicz wartość pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego w którym \(a_{5}=12\sqrt{2}\) oraz \(q=\sqrt{2}\).

Tym razem wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego posłuży nam do obliczenia wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^4 \\
12\sqrt{2}=a_{1}\cdot(\sqrt{2})^4 \\
12\sqrt{2}=a_{1}\cdot4 \quad\bigg/:4 \\
a_{1}=3\sqrt{2}$$

Powyższe zadania były dość proste, opierały się tak naprawdę na podstawieniu danych do wzoru i ewentualnie na wyliczeniu ilorazu \(q\). Nie ma co też ukrywać, ale łatwość tych zadań (zwłaszcza pierwszego i drugiego) polegała na tym, że znaliśmy już wartość pierwszego wyrazu, która występuje we wzorze. Czasami jednak spotkamy się z sytuacją w której będziemy znać wartość innego wyrazu niż pierwszy. W takiej sytuacji mamy tak naprawdę dwa wyjścia:
1. Możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu na podstawie dostępnych danych (tak jak zrobiliśmy to w trzecim zadaniu).
2. Możemy zastosować nieco sprytniejszy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu, znając \(k\)-ty wyraz oraz iloraz \(q\).
$$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$

Zróbmy zatem przykładowe zadanie w którym wykorzystamy pierwszy i drugi sposób:

Przykład 4. W rosnącym ciągu geometrycznym \(a_{3}=\frac{1}{6}\) oraz \(q=3\). Oblicz wartość siódmego wyrazu tego ciągu.

I sposób – z wykorzystaniem wzoru \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\).
Do wyznaczenia siódmego wyrazu tego ciągu brakuje nam wartości pierwszego wyrazu. Do jego obliczenia wykorzystamy informację na temat wartości trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
\frac{1}{6}=a_{1}\cdot 3^2 \\
\frac{1}{6}=a_{1}\cdot9 \quad\bigg/:9 \\
a_{1}=\frac{1}{54}$$

Teraz znając wartość pierwszego wyrazu możemy bez problemu obliczyć wartość siódmego wyrazu tego ciągu podstawiając \(n=7\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{7}=a_{1}\cdot q^{7-1} \\
a_{7}=a_{1}\cdot q^6 \\
a_{7}=\frac{1}{54}\cdot3^6 \\
a_{7}=\frac{1}{54}\cdot3^6 \\
a_{7}=\frac{1}{54}\cdot729 \\
a_{7}=\frac{27}{2}$$

II sposób – z wykorzystaniem wzoru \(a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}\).
Znamy wartość trzeciego wyrazu dlatego podstawimy \(k=3\). Szukamy wartości siódmego wyrazu dlatego \(n=7\). Stąd też:
$$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k} \\
a_{7}=a_{3}\cdot q^{7-3} \\
a_{7}=a_{3}\cdot q^4 \\
a_{7}=\frac{1}{6}\cdot3^4 \\
a_{7}=\frac{1}{6}\cdot81 \\
a_{7}=\frac{81}{6}=\frac{27}{2}$$

Z jednego i drugiego sposobu wyszło nam, że \(a_{7}=\frac{27}{2}\).

Zobacz też: Ciąg geometryczny

Dodaj komentarz