Rozwiązanie
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem \(x-1\neq0\) oraz \(x+1\neq0\). Z pierwszego równania otrzymamy \(x\neq1\), a z drugiego \(x\neq-1\). To oznacza, że to wyrażenie nie jest określone dla każdej liczby rzeczywistej, bo mamy dwa wyjątki. Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez \(x+1\), a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez \(x-1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)= \\
=\frac{2x}{x^2-1}$$
Zdanie jest więc prawdą.
