Rozwiąż nierówność 2(x-1)(x+3)>x-1

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć wszystkie wartości i przenieść wszystko na lewą stronę:
$$2(x-1)(x+3)\gt x-1 \\
(2x-2)(x+3)\gt x-1 \\
2x^2+6x-2x-6\gt x-1 \\
2x^2+4x-6\gt x-1 \\
2x^2+3x-5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot2}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie suma przedziałów:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$

Odpowiedź

\(x\in\left(-\infty;-\frac{5}{2}\right)\cup(1;+\infty)\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments