Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi 0,64 drugiego wyrazu tego ciągu

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi \(0,64\) drugiego wyrazu tego ciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli:
$$a_{2}=x \\
a_{4}=0,64x$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q \\
a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$

Podstawiając \(a_{2}=x\) oraz \(a_{4}=0,64x\) otrzymamy:
$$0,64x=x\cdot q^2 \\
q^2=0,64 \\
q=0,8 \quad\lor\quad q=-0,8$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz